解説

方針・初手

階差数列 $b_n=a_{n+1}-a_n$ を導入すると、元の漸化式を $b_n$ についての一次漸化式に変形できる。

まず $b_1$ を直接求め、次に $b_{n+1}$ を $b_n$ で表す。

解法1

与えられた漸化式は

$$ a_{n+1}=3a_n+4n+1

$$

である。まず

$$ a_1=1

$$

より、

$$ a_2=3a_1+4\cdot 1+1=3+4+1=8

$$

である。したがって

$$ b_1=a_2-a_1=8-1=7

$$

となる。

次に、$b_n=a_{n+1}-a_n$ であるから、

$$ b_n=(3a_n+4n+1)-a_n=2a_n+4n+1

$$

である。

また、

$$ \begin{aligned} b_{n+1} &=a_{n+2}-a_{n+1} \\ &=(3a_{n+1}+4(n+1)+1)-a_{n+1} \\ &=2a_{n+1}+4n+5 \end{aligned}

$$

となる。ここで $a_{n+1}=a_n+b_n$ を用いると、

$$ \begin{aligned} b_{n+1} &=2(a_n+b_n)+4n+5 \\ &=(2a_n+4n+1)+2b_n+4 \\ &=b_n+2b_n+4 \\ &=3b_n+4 \end{aligned}

$$

よって、$b_n$ は

$$ b_{n+1}=3b_n+4,\qquad b_1=7

$$

を満たす。

この漸化式は定数項を消すために $b_n+2$ を考えるとよい。

$$ b_{n+1}+2=3b_n+6=3(b_n+2)

$$

したがって数列 ${b_n+2}$ は公比 $3$ の等比数列である。初項は

$$ b_1+2=7+2=9

$$

だから、

$$ b_n+2=9\cdot 3^{n-1}=3^{n+1}

$$

よって

$$ b_n=3^{n+1}-2

$$

である。

次に、$b_n=a_{n+1}-a_n$ だから、

$$ a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k

$$

である。したがって

$$ \begin{aligned} a_n &=1+\sum_{k=1}^{n-1}(3^{k+1}-2) \\ &=1+\sum_{k=1}^{n-1}3^{k+1}-2(n-1) \end{aligned}

$$

ここで

$$ \sum_{k=1}^{n-1}3^{k+1}=3^2+3^3+\cdots+3^n=\frac{3^{n+1}-9}{2}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} a_n &=1+\frac{3^{n+1}-9}{2}-2(n-1) \\ &=\frac{3^{n+1}}{2}-2n-\frac{3}{2} \\ &=\frac{3}{2}\cdot 3^n-2n-\frac{3}{2} \end{aligned}

$$

となる。

解説

元の漸化式は $a_{n+1}=3a_n+4n+1$ の形であり、右辺に $n$ が含まれるため、そのまま等比数列としては扱えない。

そこで階差数列 $b_n=a_{n+1}-a_n$ を使うと、$b_n$ が

$$ b_{n+1}=3b_n+4

$$

という一次漸化式になる。この定数項 $4$ は、$b_n+2$ を考えることで消える。

最後は

$$ a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k

$$

を使って、階差数列から元の数列に戻す。

答え

$$ \boxed{\text{ア}=7}

$$

$$ \boxed{\text{カ}=3,\quad \text{キ}=4}

$$

$$ \boxed{\text{ク}=3,\quad \text{ケ}=2}

$$

$$ \boxed{\text{コ}=\frac{3}{2},\quad \text{サ}=3,\quad \text{シ}=2,\quad \text{ス}=\frac{3}{2}}

$$

したがって、

$$ \boxed{b_n=3^{n+1}-2}

$$

$$ \boxed{a_n=\frac{3}{2}\cdot 3^n-2n-\frac{3}{2}}

$$