基礎問題集
数学B 数列「2項間漸化式」の問題42 解説
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解説
方針・初手
$S_n$ が $a_n$ を含む形で与えられているので、まず $n=1,2$ を代入して初項付近を求める。
その後、$S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ を用いて $a_n$ の漸化式を作る。さらに $b_n=a_{n+1}-a_n-2$ とおくことで、漸化式が等比数列の形に変形できる。
解法1
**(1)**
$n=1$ を代入すると、$S_1=a_1$ より
$$ a_1=2a_1+1^2-1
$$
である。したがって
$$ a_1=2a_1
$$
より
$$ a_1=0
$$
である。
次に $n=2$ を代入する。$S_2=a_1+a_2$ であり、$a_1=0$ だから $S_2=a_2$ である。よって
$$ a_2=2a_2+2^2-2
$$
すなわち
$$ a_2=2a_2+2
$$
であるから
$$ a_2=-2
$$
となる。
（2） 与えられた式より
$$ S_n=2a_n+n^2-n
$$
である。また、$n+1$ を代入すると
$$ S_{n+1}=2a_{n+1}+(n+1)^2-(n+1)
$$
である。ここで
$$ (n+1)^2-(n+1)=n^2+n
$$
だから
$$ S_{n+1}=2a_{n+1}+n^2+n
$$
となる。
一方、
$$ S_{n+1}-S_n=a_{n+1}
$$
であるから、
$$ \begin{aligned} a_{n+1} &= {2a_{n+1}+n^2+n}-{2a_n+n^2-n} \\ &=2a_{n+1}-2a_n+2n \end{aligned}
$$
である。これを整理して
$$ a_{n+1}-2a_n=-2n
$$
を得る。
**(3)**
$$ b_n=a_{n+1}-a_n-2
$$
とおく。
(2)より
$$ a_{n+1}-2a_n=-2n
$$
である。また、$n$ を $n+1$ に置き換えると
$$ a_{n+2}-2a_{n+1}=-2(n+1)
$$
であるから
$$ a_{n+2}=2a_{n+1}-2n-2
$$
となる。
したがって
$$ \begin{aligned} b_{n+1} &=a_{n+2}-a_{n+1}-2 \\ &=(2a_{n+1}-2n-2)-a_{n+1}-2 \\ &=a_{n+1}-2n-4 \end{aligned}
$$
である。
一方、
$$ \begin{aligned} 2b_n &=2(a_{n+1}-a_n-2) \\ &=2a_{n+1}-2a_n-4 \\ &=a_{n+1}+(a_{n+1}-2a_n)-4 \\ &=a_{n+1}-2n-4 \end{aligned}
$$
である。よって
$$ b_{n+1}=2b_n
$$
が成り立つ。
したがって、数列 ${b_n}$ は等比数列であり、公比は $2$ である。
また、
$$ b_1=a_2-a_1-2
$$
であるから、$a_1=0,\ a_2=-2$ を用いて
$$ b_1=-2-0-2=-4
$$
となる。
よって
$$ b_n=-4\cdot 2^{n-1}
$$
である。
**(4)**
$b_n=a_{n+1}-a_n-2$ より
$$ a_{n+1}-a_n=b_n+2
$$
である。したがって
$$ a_{n+1}-a_n=-4\cdot 2^{n-1}+2
$$
となる。
$n\geqq 2$ のとき、$k=1$ から $n-1$ まで足し合わせると
$$ \begin{aligned} a_n-a_1 &=\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k) \\ &=\sum_{k=1}^{n-1}{2-4\cdot 2^{k-1}} \end{aligned}
$$
である。$a_1=0$ より
$$ a_n=2(n-1)-4\sum_{k=1}^{n-1}2^{k-1}
$$
となる。
ここで
$$ \sum_{k=1}^{n-1}2^{k-1}=1+2+\cdots+2^{n-2}=2^{n-1}-1
$$
であるから、
$$ \begin{aligned} a_n &=2(n-1)-4(2^{n-1}-1) \\ &=2n-2-2^{n+1}+4 \\ &=2n+2-2^{n+1} \end{aligned}
$$
である。
この式は $n=1$ のときも
$$ 2\cdot 1+2-2^2=0
$$
となり、$a_1=0$ と一致する。
よって、すべての正の整数 $n$ について
$$ a_n=2n+2-2^{n+1}
$$
である。
解説
この問題では、$S_n$ と $a_n$ の関係式から直接 $a_n$ を求めるのではなく、まず
$$ S_{n+1}-S_n=a_{n+1}
$$
を使って漸化式に直すことが重要である。
得られる漸化式
$$ a_{n+1}-2a_n=-2n
$$
は、そのままでは非斉次の漸化式である。しかし、問題で指定された
$$ b_n=a_{n+1}-a_n-2
$$
という置き方を使うと、
$$ b_{n+1}=2b_n
$$
となり、等比数列として処理できる。
最後は
$$ a_{n+1}-a_n=b_n+2
$$
に戻して階差を足し上げればよい。
答え
**(1)**
$$ a_1=0,\qquad a_2=-2
$$
**(2)**
$$ a_{n+1}-2a_n=-2n
$$
**(3)**
${b_n}$ は初項 $-4$、公比 $2$ の等比数列である。
$$ b_1=-4,\qquad \text{公比 }2
$$
**(4)**
$$ a_n=2n+2-2^{n+1}
$$