解説

方針・初手

漸化式が一次分数型であるから、まず不動点を調べる。不動点が重解になる場合、$a_n-\alpha$ の逆数を取ると等差数列に帰着できる。

解法1

まず、漸化式

$$ a_{n+1}=\frac{7a_n-4}{9a_n-5}

$$

の不動点を求める。$a_{n+1}=a_n=\alpha$ とおくと、

$$ \alpha=\frac{7\alpha-4}{9\alpha-5}

$$

である。よって、

$$ \alpha(9\alpha-5)=7\alpha-4

$$

より、

$$ 9\alpha^2-12\alpha+4=0

$$

すなわち

$$ (3\alpha-2)^2=0

$$

となる。したがって、

$$ \alpha=\frac{2}{3}

$$

である。

次に、$a_{n+1}-\dfrac{2}{3}$ を $a_n-\dfrac{2}{3}$ で表す。

$$ \begin{aligned} a_{n+1}-\frac{2}{3} &=\frac{7a_n-4}{9a_n-5}-\frac{2}{3} \\ &=\frac{3(7a_n-4)-2(9a_n-5)}{3(9a_n-5)} \\ &=\frac{21a_n-12-18a_n+10}{3(9a_n-5)} \\ &=\frac{3a_n-2}{3(9a_n-5)} \\ &=\frac{3\left(a_n-\frac{2}{3}\right)}{3(9a_n-5)} \\ &=\frac{a_n-\frac{2}{3}}{9a_n-5}. \end{aligned}

$$

ここで

$$ 9a_n-5=9\left(a_n-\frac{2}{3}\right)+1

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} a_{n+1}-\frac{2}{3} &= \frac{a_n-\frac{2}{3}}{9\left(a_n-\frac{2}{3}\right)+1} \end{aligned} $$

となる。したがって、求める定数は

$$ \alpha=\frac{2}{3},\qquad \beta=9,\qquad \gamma=1

$$

である。

次に一般項を求める。

$$ b_n=\frac{1}{a_n-\frac{2}{3}}

$$

とおく。上で得た式

$$ \begin{aligned} a_{n+1}-\frac{2}{3} &= \frac{a_n-\frac{2}{3}}{9\left(a_n-\frac{2}{3}\right)+1} \end{aligned} $$

の逆数を取ると、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{a_{n+1}-\frac{2}{3}} &= 9+\frac{1}{a_n-\frac{2}{3}} \end{aligned} $$

となる。すなわち、

$$ b_{n+1}=b_n+9

$$

である。

また、$a_1=1$ より、

$$ b_1=\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=3

$$

である。したがって、${b_n}$ は初項 $3$、公差 $9$ の等差数列なので、

$$ b_n=3+9(n-1)=9n-6

$$

である。よって、

$$ \frac{1}{a_n-\frac{2}{3}}=9n-6

$$

より、

$$ a_n-\frac{2}{3}=\frac{1}{9n-6}

$$

である。したがって、

$$ a_n=\frac{2}{3}+\frac{1}{9n-6}

$$

となる。これを整理すると、

$$ \begin{aligned} a_n &=\frac{2}{3}+\frac{1}{9n-6} \\ &=\frac{2}{3}+\frac{1}{3(3n-2)} \\ &=\frac{2(3n-2)+1}{3(3n-2)} \\ &=\frac{6n-3}{9n-6} \\ &=\frac{2n-1}{3n-2}. \end{aligned}

$$

ゆえに、

$$ a_n=\frac{2n-1}{3n-2}

$$

である。

解説

一次分数型漸化式では、まず不動点を探すのが基本である。この問題では不動点方程式が

$$ (3\alpha-2)^2=0

$$

となり、重解をもつ。このような場合、$a_n-\alpha$ をそのまま扱うよりも、逆数を取ることで等差数列に変形できる。

特に今回は

$$ \begin{aligned} a_{n+1}-\frac{2}{3} &= \frac{a_n-\frac{2}{3}}{9\left(a_n-\frac{2}{3}\right)+1} \end{aligned} $$

となるため、逆数を取ると

$$ b_{n+1}=b_n+9

$$

という単純な形になる。この変形がこの問題の中心である。

答え

**(1)**

$$ \alpha=\frac{2}{3},\qquad \beta=9,\qquad \gamma=1

$$

**(2)**

$$ a_n=\frac{2n-1}{3n-2}

$$