解説

方針・初手

漸化式の右辺に $a_{n-1}$ が分母にも分子にも現れているため、そのまま扱うより逆数をとるのが自然である。

$a_n$ の逆数を新しい数列としておくと、差が簡単な形になる。

解法1

$a_1=8$ より、少なくとも $a_1 \neq 0$ である。また漸化式より、各項は定義される範囲で $a_n \neq 0$ とみなせるので、逆数を考える。

$$ b_n=\frac{1}{a_n}

$$

とおく。

与えられた漸化式

$$ a_n=\frac{a_{n-1}}{(n-1)a_{n-1}+1}

$$

の両辺の逆数をとると、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{a_n} &= \frac{(n-1)a_{n-1}+1}{a_{n-1}} \end{aligned} $$

である。したがって

$$ b_n=(n-1)+b_{n-1}

$$

となる。

また

$$ b_1=\frac{1}{a_1}=\frac{1}{8}

$$

である。

よって、$n \geqq 2$ のとき

$$ \begin{aligned} b_n &=b_1+\sum_{k=2}^{n}(k-1) \\ &=\frac{1}{8}+\sum_{j=1}^{n-1}j \\ &=\frac{1}{8}+\frac{n(n-1)}{2}. \end{aligned}

$$

これを整理すると、

$$ \begin{aligned} b_n &= \frac{1+4n(n-1)}{8} \\ \frac{4n^2-4n+1}{8} \\ \frac{(2n-1)^2}{8} \end{aligned} $$

である。

したがって

$$ a_n=\frac{1}{b_n}=\frac{8}{(2n-1)^2}

$$

を得る。

解説

この問題のポイントは、分数型の漸化式をそのまま処理しないことである。

$$ a_n=\frac{a_{n-1}}{(n-1)a_{n-1}+1}

$$

の形では、分母に $a_{n-1}$ が含まれていて扱いにくい。しかし逆数をとると、

$$ \frac{1}{a_n}=(n-1)+\frac{1}{a_{n-1}}

$$

となり、階差型の漸化式に変わる。

分数型漸化式では、逆数をとる、あるいは一次分数変換として見る、という発想が有効である。本問では逆数をとるだけで等差的に処理できる形になる。

答え

$$ \boxed{a_n=\frac{8}{(2n-1)^2}}

$$