基礎問題集
数学B 数列「2項間漸化式」の問題48 解説
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解説
方針・初手
漸化式に $\dfrac{1}{a_{n+1}}$ と $\dfrac{1}{a_n}$ が現れているので、逆数を新しい数列としておく。すなわち
$$ b_n=\frac{1}{a_n}
$$
とすれば、一次漸化式に直せる。
解法1
$b_n=\dfrac{1}{a_n}$ とおく。
$a_1=1$ より
$$ b_1=\frac{1}{a_1}=1
$$
である。また、与えられた漸化式
$$ \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{2}{a_n}+1
$$
は
$$ b_{n+1}=2b_n+1
$$
と書ける。
このままでは等比数列ではないので、定数項を消す形に変形する。両辺に $1$ を加えると
$$ b_{n+1}+1=2b_n+2=2(b_n+1)
$$
となる。
したがって、数列 ${b_n+1}$ は公比 $2$ の等比数列である。初項は
$$ b_1+1=1+1=2
$$
だから、
$$ b_n+1=2\cdot 2^{n-1}=2^n
$$
である。よって
$$ b_n=2^n-1
$$
となる。
$b_n=\dfrac{1}{a_n}$ であったから、
$$ \frac{1}{a_n}=2^n-1
$$
より
$$ a_n=\frac{1}{2^n-1}
$$
である。
解説
逆数を含む漸化式では、まず $b_n=\dfrac{1}{a_n}$ とおくのが自然である。これにより、分数型の漸化式が
$$ b_{n+1}=2b_n+1
$$
という一次漸化式に変わる。
この形はそのまま等比数列ではないが、$b_n+1$ に注目すると
$$ b_{n+1}+1=2(b_n+1)
$$
となり、等比数列として処理できる。
答え
$$ a_n=\frac{1}{2^n-1}
$$