解説

方針・初手

底を $4$ にそろえるため、$b_n=\log_4 a_n$ を用いる。特に、$\dfrac14=4^{-1}$ であるから、$\log_{\frac14} a_{n+1}$ は $-\log_4 a_{n+1}$ に変換できる。

解法1

まず、$b_n=\log_4 a_n$ より、

$$ a_n=4^{b_n}

$$

である。

また、

$$ \begin{aligned} \log_{\frac14} a_{n+1} &= \log_{4^{-1}} a_{n+1} \\ -\log_4 a_{n+1} \\ -b_{n+1} \end{aligned} $$

であり、

$$ \begin{aligned} \log_2 a_n &= \log_2 4^{b_n} \\ 2b_n \end{aligned} $$

である。

したがって、与えられた式

$$ \log_{\frac14} a_{n+1}+\log_2 a_n=n

$$

は、

$$ -b_{n+1}+2b_n=n

$$

となる。よって、

$$ b_{n+1}=2b_n-n

$$

である。

また、$a_1=16$ より、

$$ b_1=\log_4 16=2

$$

である。

次に、漸化式

$$ b_{n+1}=2b_n-n

$$

を解く。

この漸化式について、$b_n=n+1$ が成り立つかを確認すると、

$$ 2b_n-n=2(n+1)-n=n+2

$$

であり、これは $b_{n+1}=(n+1)+1=n+2$ と一致する。

さらに初期条件についても、

$$ b_1=1+1=2

$$

となり一致する。よって、

$$ b_n=n+1

$$

である。

したがって、

$$ a_n=4^{b_n}=4^{n+1}

$$

となる。

最後に、$a_n\geqq 10^{100}$ となる最小の $n$ を求める。

$$ a_n=4^{n+1}=2^{2n+2}

$$

であり、

$$ 10^{100}=(2\cdot 5)^{100}=2^{100}5^{100}

$$

である。両辺の $2$ を底とする対数をとると、条件は

$$ 2n+2\geqq 100\log_2 10

$$

である。

ここで、

$$ \log_2 10=\log_2(2\cdot 5)=1+\log_2 5

$$

だから、

$$ 2n+2\geqq 100(1+\log_2 5)

$$

となる。

与えられた

$$ 2.321<\log_2 5<2.322

$$

より、

$$ 332.1<100(1+\log_2 5)<332.2

$$

である。

$n=165$ のとき、

$$ 2n+2=332

$$

であり、これは $100(1+\log_2 5)>332.1$ より条件を満たさない。

一方、$n=166$ のとき、

$$ 2n+2=334

$$

であり、これは $100(1+\log_2 5)<332.2$ より条件を満たす。

よって、求める最小の $n$ は

$$ 166

$$

である。

解説

この問題では、対数の底をそろえることが最初の要点である。$b_n=\log_4 a_n$ と定義されているので、$\log_{\frac14} a_{n+1}$ と $\log_2 a_n$ をどちらも $b_n$ を用いて表す。

特に、$\dfrac14=4^{-1}$ であるため、底が逆数になると対数の符号が反転する点が重要である。

また、得られる漸化式は

$$ b_{n+1}=2b_n-n

$$

であるが、初期条件から見ると $b_n=n+1$ という非常に簡単な形になる。最後の不等式では、$a_n=4^{n+1}$ を $2$ の累乗に直してから、与えられた $\log_2 5$ の評価を使う。

答え

**(1)**

$$ b_{n+1}=2b_n-n

$$

**(2)**

$$ b_n=n+1

$$

**(3)**

$$ a_n=4^{n+1}

$$

**(4)**

$$ 166

$$