解説

方針・初手

$a_{n+1}$ に $(a_n)^5$ が含まれているので、指数部分を取り出すために底 $2$ の対数をとる。さらに $3^{n+1}$ が加わる形になるため、$3^n$ で割って一次漸化式に直す。

解法1

$b_n=\log_2 a_n$ とおく。

$a_1=16=2^4$ より、

$$ b_1=\log_2 16=4

$$

である。したがって、

$$ \boxed{①=4}

$$

である。

また、

$$ a_{n+1}=2^{3^{n+1}}(a_n)^5

$$

の両辺について底 $2$ の対数をとると、

$$ \begin{aligned} b_{n+1} &=\log_2\left(2^{3^{n+1}}(a_n)^5\right)\\ &=3^{n+1}+5\log_2 a_n\\ &=5b_n+3^{n+1} \end{aligned}

$$

となる。よって、

$$ \boxed{②=5}

$$

である。

次に、

$$ c_n=\frac{b_n}{3^n}

$$

とおく。

このとき、

$$ c_1=\frac{b_1}{3}=\frac{4}{3}

$$

より、

$$ \boxed{③=\frac{4}{3}}

$$

である。

さらに、

$$ \begin{aligned} c_{n+1} &=\frac{b_{n+1}}{3^{n+1}}\\ &=\frac{5b_n+3^{n+1}}{3^{n+1}}\\ &=\frac{5}{3}\cdot \frac{b_n}{3^n}+1\\ &=\frac{5}{3}c_n+1 \end{aligned}

$$

となる。したがって、

$$ \boxed{④=\frac{5}{3}},\qquad \boxed{⑤=1}

$$

である。

ここで、一次漸化式

$$ c_{n+1}=\frac{5}{3}c_n+1

$$

を解く。定数解を $\alpha$ とすると、

$$ \alpha=\frac{5}{3}\alpha+1

$$

より、

$$ -\frac{2}{3}\alpha=1

$$

だから、

$$ \alpha=-\frac{3}{2}

$$

である。

したがって、

$$ c_{n+1}+\frac{3}{2}=\frac{5}{3}\left(c_n+\frac{3}{2}\right)

$$

となる。よって、数列 $\left\{c_n+\frac{3}{2}\right\}$ は公比 $\frac{5}{3}$ の等比数列である。

$c_1=\frac{4}{3}$ より、

$$ \begin{aligned} c_1+\frac{3}{2} &= \frac{4}{3}+\frac{3}{2} \\ \frac{17}{6} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} c_n+\frac{3}{2} &= \frac{17}{6}\left(\frac{5}{3}\right)^{n-1} \end{aligned} $$

となる。

よって、

$$ c_n= \frac{17}{6}\left(\frac{5}{3}\right)^{n-1}-\frac{3}{2}

$$

である。したがって、

$$ \boxed{⑥=\frac{17}{6}\left(\frac{5}{3}\right)^{n-1}-\frac{3}{2}}

$$

である。

また、

$$ b_n=3^n c_n

$$

より、

$$ \begin{aligned} b_n &=3^n\left\{\frac{17}{6}\left(\frac{5}{3}\right)^{n-1}-\frac{3}{2}\right\}\\ &=\frac{17}{6}\cdot 3^n\cdot \frac{5^{n-1}}{3^{n-1}}-\frac{3^{n+1}}{2}\\ &=\frac{17}{2}5^{n-1}-\frac{3^{n+1}}{2}\\ &=\frac{17\cdot 5^{n-1}-3^{n+1}}{2} \end{aligned}

$$

である。したがって、

$$ \boxed{⑦=\frac{17\cdot 5^{n-1}-3^{n+1}}{2}}

$$

である。

最後に、$b_n=\log_2 a_n$ であるから、

$$ a_n=2^{b_n}

$$

である。よって、

$$ a_n=2^{\frac{17\cdot 5^{n-1}-3^{n+1}}{2}}

$$

となる。

解説

この問題では、$a_{n+1}$ が $2$ の累乗と $(a_n)^5$ の積で表されているため、そのまま扱うよりも対数を取るのが自然である。

対数を取ることで、積が和に、べき乗が係数に変わり、

$$ b_{n+1}=5b_n+3^{n+1}

$$

という一次漸化式になる。

さらに右辺の定数項が $3^{n+1}$ なので、$b_n$ を $3^n$ で割ると、

$$ c_{n+1}=\frac{5}{3}c_n+1

$$

という標準的な一次漸化式に変形できる。あとは定数解を利用して等比数列に帰着するのが典型処理である。

答え

$$ \boxed{①=4}

$$

$$ \boxed{②=5}

$$

$$ \boxed{③=\frac{4}{3}}

$$

$$ \boxed{④=\frac{5}{3}}

$$

$$ \boxed{⑤=1}

$$

$$ \boxed{⑥=\frac{17}{6}\left(\frac{5}{3}\right)^{n-1}-\frac{3}{2}}

$$

$$ \boxed{⑦=\frac{17\cdot 5^{n-1}-3^{n+1}}{2}}

$$

したがって、

$$ \boxed{a_n=2^{\frac{17\cdot 5^{n-1}-3^{n+1}}{2}}}

$$