解説

方針・初手

$S_n$ を含む漸化式なので、まず $S_n=S_{n-1}+a_n$ を使って、$S_n$ を消去する。特に、$n$ の式と $n-1$ の式を比較すると、$a_n-a_{n-1}$ の形に直せる。

解法1

$n\geqq 2$ に対して

$$ a_n=\frac{S_n}{n}+(n-1)2^n

$$

であるから、両辺に $n$ をかけると

$$ na_n=S_n+n(n-1)2^n

$$

となる。ここで $S_n=S_{n-1}+a_n$ より、

$$ na_n=S_{n-1}+a_n+n(n-1)2^n

$$

したがって

$$ (n-1)a_n=S_{n-1}+n(n-1)2^n

$$

である。

まず $n=2$ のとき、

$$ a_2=\frac{S_2}{2}+2^2

$$

であり、$S_2=a_1+a_2=3+a_2$ だから、

$$ a_2=\frac{3+a_2}{2}+4

$$

よって

$$ 2a_2=3+a_2+8

$$

より

$$ a_2=11

$$

である。

次に $n\geqq 3$ とする。先ほど得た式より、

$$ (n-1)a_n=S_{n-1}+n(n-1)2^n

$$

また、$n-1$ について同じ式を用いると、

$$ (n-2)a_{n-1}=S_{n-2}+(n-1)(n-2)2^{n-1}

$$

である。ここで $S_{n-1}=S_{n-2}+a_{n-1}$ だから、上の2式を用いて $S_{n-1},S_{n-2}$ を消去するより、

$$ \begin{aligned} (n-1)a_n &=S_{n-1}+n(n-1)2^n \\ &=S_{n-2}+a_{n-1}+n(n-1)2^n \\ &=(n-2)a_{n-1}-(n-1)(n-2)2^{n-1}+a_{n-1}+n(n-1)2^n \\ &=(n-1)a_{n-1}-(n-1)(n-2)2^{n-1}+n(n-1)2^n \end{aligned}

$$

両辺を $n-1$ で割ると、

$$ a_n=a_{n-1}-(n-2)2^{n-1}+n2^n

$$

したがって

$$ a_n-a_{n-1}=(n+2)2^{n-1}

$$

である。この式は $n=2$ のときも、

$$ a_2-a_1=11-3=8

$$

かつ

$$ (2+2)2^{2-1}=8

$$

なので成り立つ。

よって $n\geqq 2$ に対して

$$ a_n-a_{n-1}=(n+2)2^{n-1}

$$

である。これを $2$ から $n$ まで足し合わせると、

$$ a_n-a_1=\sum_{k=2}^{n}(k+2)2^{k-1}

$$

$a_1=3$ より、

$$ a_n=3+\sum_{k=2}^{n}k2^{k-1}+2\sum_{k=2}^{n}2^{k-1}

$$

ここで

$$ \sum_{k=1}^{n}k2^{k-1}=(n-1)2^n+1

$$

であるから、

$$ \sum_{k=2}^{n}k2^{k-1}=(n-1)2^n

$$

また、

$$ \sum_{k=2}^{n}2^{k-1}=2^n-2

$$

である。したがって

$$ \begin{aligned} a_n &=3+(n-1)2^n+2(2^n-2) \\ &=3+(n-1)2^n+2^{n+1}-4 \\ &=(n+1)2^n-1 \end{aligned}

$$

これは $n=1$ のときも

$$ (1+1)2^1-1=3

$$

となり、初期条件 $a_1=3$ を満たす。

解説

この問題では、$a_n$ が $S_n$ を含む形で与えられているため、そのままでは一般項を求めにくい。そこで $S_n=S_{n-1}+a_n$ を使って、和の記号を消去するのが基本方針である。

特に、$n$ の式と $n-1$ の式を比べることで、$a_n-a_{n-1}$ という階差の形に直せる。階差が求まれば、あとは和を取って一般項を得られる。

注意点は、$n-1$ の式を使うためには $n\geqq 3$ が必要であることだ。そのため、$a_2$ は別に計算しておく必要がある。

答え

$$ \boxed{a_n=(n+1)2^n-1}

$$