解説

方針・初手

関数

$$ f(x)=\frac{1}{3}x^3-10cx \quad (x\geqq 0)

$$

の最小値をとる $x$ を、微分によって求める。ここで $c=1$ とすれば $a_1$、$c=a_n$ とすれば $a_{n+1}$ が得られる。

解法1

$c>0$ として

$$ f(x)=\frac{1}{3}x^3-10cx

$$

を考える。微分すると

$$ f'(x)=x^2-10c

$$

である。

$x\geqq 0$ において、$f'(x)=0$ となるのは

$$ x=\sqrt{10c}

$$

である。また、$0\leqq x<\sqrt{10c}$ では $f'(x)<0$、$x>\sqrt{10c}$ では $f'(x)>0$ となるので、$f(x)$ は $x=\sqrt{10c}$ で最小値をとる。

**(1)**

$a_1$ は $c=1$ の場合であるから、

$$ a_1=\sqrt{10}

$$

である。よって

$$ b_1=\log_{10}a_1=\log_{10}\sqrt{10}=\frac{1}{2}

$$

である。

**(2)**

$a_{n+1}$ は $c=a_n$ の場合であるから、

$$ a_{n+1}=\sqrt{10a_n}

$$

である。

**(3)**

$b_n=\log_{10}a_n$ より、$a_n=10^{b_n}$ である。したがって

$$ \begin{aligned} b_{n+1} &=\log_{10}a_{n+1} \\ &=\log_{10}\sqrt{10a_n} \\ &=\frac{1}{2}\log_{10}(10a_n) \\ &=\frac{1}{2}{1+\log_{10}a_n} \\ &=\frac{1}{2}(1+b_n) \end{aligned}

$$

となる。よって

$$ b_{n+1}=\frac{1}{2}b_n+\frac{1}{2}

$$

である。

（4） 漸化式

$$ b_{n+1}=\frac{1}{2}b_n+\frac{1}{2}

$$

の定数解を考えると、$b=1$ が成り立つ。そこで両辺から $1$ を引くと、

$$ b_{n+1}-1=\frac{1}{2}(b_n-1)

$$

となる。

したがって、数列 ${b_n-1}$ は公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列である。$b_1=\frac{1}{2}$ より、

$$ b_1-1=-\frac{1}{2}

$$

であるから、

$$ b_n-1=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}

$$

となる。よって

$$ b_n=1-\left(\frac{1}{2}\right)^n

$$

である。

**(5)**

$a_n=10^{b_n}$ であるから、

$$ a_1=10^{1/2},\qquad a_2=10^{3/4},\qquad a_3=10^{7/8}

$$

である。したがって

$$ \begin{aligned} \frac{a_1a_2a_3}{100} &=\frac{10^{1/2}10^{3/4}10^{7/8}}{10^2} \\ &=10^{1/2+3/4+7/8-2} \end{aligned}

$$

となる。指数を計算すると、

$$ \frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{7}{8}-2 =\frac{4}{8}+\frac{6}{8}+\frac{7}{8}-\frac{16}{8} =\frac{1}{8}

$$

である。よって

$$ \frac{a_1a_2a_3}{100}=10^{1/8}

$$

である。

解説

この問題の中心は、三次関数の最小値をとる $x$ を微分で求め、それを漸化式に変換することである。

$a_{n+1}=\sqrt{10a_n}$ のまま扱うと累乗根が重なって見通しが悪い。しかし、$b_n=\log_{10}a_n$ とおくことで

$$ b_{n+1}=\frac{1}{2}b_n+\frac{1}{2}

$$

という一次漸化式になる。この変換が本問の最重要点である。

最後の値は $a_n=10^{b_n}$ に戻して指数法則で処理すればよい。

答え

**(1)**

$$ a_1=\sqrt{10},\qquad b_1=\frac{1}{2}

$$

**(2)**

$$ a_{n+1}=\sqrt{10a_n}

$$

**(3)**

$$ b_{n+1}=\frac{1}{2}b_n+\frac{1}{2}

$$

**(4)**

$$ b_n=1-\left(\frac{1}{2}\right)^n

$$

**(5)**

$$ \frac{a_1a_2a_3}{100}=10^{1/8}

$$