解説

方針・初手

根が虚数であることから判別式は負であり、根 $\alpha$ は実数ではない。まず、$\alpha$ が方程式の根であることを利用して $\alpha(2-\alpha)$ を $\alpha$ の一次式に直す。

その後、(1) で得た条件のもとで虚部が負の根 $\beta$ を具体的に表し、$\beta(1-\beta)$ の実部・虚部から点 $P(x,y)$ の軌跡を求める。

解法1

方程式

$$ t^2+pt+q=0

$$

の根が虚数であるから、判別式について

$$ p^2-4q<0

$$

が成り立つ。

$\alpha$ はこの方程式の根なので、

$$ \alpha^2+p\alpha+q=0

$$

より

$$ \alpha^2=-p\alpha-q

$$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} \alpha(2-\alpha) &=2\alpha-\alpha^2 \\ &=2\alpha-(-p\alpha-q) \\ &=(p+2)\alpha+q \end{aligned}

$$

となる。

ここで、$p,q$ は実数であり、$\alpha$ は実数ではない。よって $(p+2)\alpha+q$ が実数となるためには、$\alpha$ の係数が $0$ でなければならない。

したがって、

$$ p+2=0

$$

すなわち

$$ p=-2

$$

である。

このとき

$$ \alpha(2-\alpha)=q

$$

となるので、条件 $\alpha(2-\alpha)<2$ は

$$ q<2

$$

である。

また、根が虚数である条件

$$ p^2-4q<0

$$

に $p=-2$ を代入すると、

$$ 4-4q<0

$$

より

$$ q>1

$$

である。

したがって、(1) の条件は

$$ p=-2,\qquad 1<q<2

$$

である。

次に、(1) の条件のもとでは方程式は

$$ t^2-2t+q=0

$$

となる。これを解くと、

$$ t=1\pm \sqrt{1-q}

$$

である。ここで $1<q<2$ なので、$1-q<0$ であり、

$$ t=1\pm i\sqrt{q-1}

$$

となる。

虚部が負の根を $\beta$ とするから、

$$ \beta=1-i\sqrt{q-1}

$$

である。

ここで

$$ s=\sqrt{q-1}

$$

とおくと、$1<q<2$ より

$$ 0<s<1

$$

であり、

$$ \beta=1-is

$$

である。

このとき、

$$ \begin{aligned} \beta(1-\beta) &=(1-is){1-(1-is)} \\ &=(1-is)is \\ &=s^2+is \end{aligned}

$$

となる。

したがって、$\beta(1-\beta)$ の実部を $y$、虚部を $x$ とすると、

$$ x=s,\qquad y=s^2

$$

である。$0<s<1$ だから、

$$ 0<x<1,\qquad y=x^2

$$

を得る。

よって、点 $P(x,y)$ の軌跡は

$$ y=x^2\qquad (0<x<1)

$$

である。

次に、この軌跡上の点

$$ P(x,x^2)\qquad (0<x<1)

$$

と定点

$$ Q(0,1)

$$

との距離を考える。

距離の平方を $D^2$ とすると、

$$ \begin{aligned} D^2 &=(x-0)^2+(x^2-1)^2 \\ &=x^2+(x^2-1)^2 \\ &=x^4-x^2+1 \end{aligned}

$$

である。

これを

$$ f(x)=x^4-x^2+1

$$

とおくと、

$$ f'(x)=4x^3-2x=2x(2x^2-1)

$$

である。

$0<x<1$ において $f'(x)=0$ となるのは

$$ 2x^2-1=0

$$

より

$$ x=\frac{1}{\sqrt{2}}

$$

である。

このとき、

$$ y=x^2=\frac{1}{2}

$$

である。

したがって、距離が最小となる点は

$$ P\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{2}\right)

$$

である。

また、このときの距離 $PQ$ は

$$ \begin{aligned} PQ &=\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{1}{2}-1\right)^2} \\ &=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}} \\ &=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}

$$

ではない。ここで計算を確認すると、

$$ \left(\frac{1}{2}-1\right)^2=\frac{1}{4}

$$

なので

$$ PQ^2=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}

$$

である。

よって、

$$ PQ=\frac{\sqrt{3}}{2}

$$

である。

解説

この問題の中心は、根 $\alpha$ が満たす方程式を使って $\alpha^2$ を消去することである。

$$ \alpha(2-\alpha)=(p+2)\alpha+q

$$

と一次式に直せば、$\alpha$ が実数でないことから、これが実数になる条件は係数 $p+2$ が $0$ であることだと分かる。

(2) では、(1) の条件から方程式が $t^2-2t+q=0$ に決まり、根を具体的に表せる。虚部が負の根を選ぶことにより、$\beta=1-is$ と置けるので、軌跡は放物線の一部 $y=x^2\ (0<x<1)$ となる。

(3) では距離そのものではなく距離の平方を最小化すればよい。ただし、最後の距離計算では

$$ PQ^2=x^2+(x^2-1)^2

$$

であり、$x=1/\sqrt{2}$ のとき

$$ PQ^2=\frac{3}{4}

$$

となる点に注意する。

答え

**(1)**

$$ p=-2,\qquad 1<q<2

$$

**(2)**

$$ y=x^2\qquad (0<x<1)

$$

**(3)**

$$ P\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{2}\right),\qquad PQ=\frac{\sqrt{3}}{2}

$$