解説

方針・初手

実数係数の3次方程式で虚数解をもつので，虚数解を $\alpha$ とすると，その共役複素数 $\overline{\alpha}$ も解である。

したがって，3つの解は

$$ \alpha,\ \overline{\alpha},\ r

$$

と表せる。ただし $\alpha$ は実数でない複素数，$r$ は実数である。

条件より，各解を3乗しても再び解になるので，この3つの解の集合が写像 $z\mapsto z^3$ で閉じていることを調べればよい。

解法1

$f(x)=0$ の解を

$$ \alpha,\ \overline{\alpha},\ r

$$

とする。ただし $\alpha\notin \mathbb{R}$，$r\in\mathbb{R}$ である。

まず，$r$ について考える。条件より $r^3$ も $f(x)=0$ の解である。$r^3$ は実数であり，解のうち実数であるものは $r$ だけであるから，

$$ r^3=r

$$

でなければならない。よって

$$ r(r-1)(r+1)=0

$$

より

$$ r=-1,\ 0,\ 1

$$

である。

次に，虚数解 $\alpha$ について考える。条件より $\alpha^3$ も解であるから，

$$ \alpha^3\in {\alpha,\overline{\alpha},r}

$$

である。

**(i)**

$\alpha^3=\alpha$ の場合

$$ \alpha^3=\alpha

$$

より

$$ \alpha(\alpha^2-1)=0

$$

である。したがって

$$ \alpha=0,\ \pm 1

$$

となるが，いずれも実数であり，$\alpha\notin\mathbb{R}$ に反する。

よってこの場合は不適である。

**(ii)**

$\alpha^3=\overline{\alpha}$ の場合

$\alpha=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)$ とおく。ただし $\rho>0$ である。

$$ \alpha^3=\overline{\alpha}

$$

より，絶対値を比較して

$$ \rho^3=\rho

$$

である。$\rho>0$ だから $\rho=1$ である。

また，偏角を比較すると

$$ 3\theta\equiv -\theta \pmod{2\pi}

$$

すなわち

$$ 4\theta\equiv 0 \pmod{2\pi}

$$

である。よって

$$ \theta\equiv 0,\ \frac{\pi}{2},\ \pi,\ \frac{3\pi}{2}\pmod{2\pi}

$$

である。

このうち $\alpha$ が実数でないものは

$$ \theta\equiv \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}\pmod{2\pi}

$$

であるから，

$$ \alpha=i,\ -i

$$

である。したがって虚数解の組は $i,-i$ である。

このとき実数解 $r$ は $-1,0,1$ のいずれでもよいので，

$$ f(x)=(x^2+1)(x-r)

$$

である。ゆえに

$$ r=-1,\ 0,\ 1

$$

に対して，

$$ f(x)=x^3+x^2+x+1,\quad x^3+x,\quad x^3-x^2+x-1

$$

を得る。

**(iii)**

$\alpha^3=r$ の場合

このとき $\overline{\alpha}^3=r$ も成り立つ。

すでに $r=-1,0,1$ である。もし $r=0$ なら $\alpha^3=0$ より $\alpha=0$ となり，$\alpha$ が虚数解であることに反する。したがって

$$ r=\pm 1

$$

である。

$r=1$ のとき，$\alpha$ は $1$ の虚数の3乗根であるから，

$$ \alpha=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}

$$

またはその共役である。したがって3つの解は $1$ の3乗根すべてであり，

$$ f(x)=x^3-1

$$

である。

$r=-1$ のとき，$\alpha$ は $-1$ の虚数の3乗根であるから，3つの解は $-1$ の3乗根すべてであり，

$$ f(x)=x^3+1

$$

である。

以上より，条件を満たす3次式は

$$ x^3-1,\quad x^3+1,\quad x^3+x^2+x+1,\quad x^3+x,\quad x^3-x^2+x-1

$$

である。

最後に確認する。

$f(x)=x^3-1$ の解は $1$ の3乗根であり，どの解 $\alpha$ についても $\alpha^3=1$ だから条件を満たす。

$f(x)=x^3+1$ の解は $-1$ の3乗根であり，どの解 $\alpha$ についても $\alpha^3=-1$ だから条件を満たす。

また，

$$ f(x)=(x^2+1)(x-r)\quad (r=-1,0,1)

$$

の解は $i,-i,r$ である。このとき

$$ i^3=-i,\quad (-i)^3=i,\quad r^3=r

$$

であるから，これらも条件を満たす。

解説

この問題の中心は，係数が実数であることから虚数解が共役な組で現れる点である。3次方程式で虚数解をもつなら，解の形は必ず

$$ \alpha,\ \overline{\alpha},\ r

$$

となる。

あとは「解を3乗してもまた解」という条件を，解の集合

$$ {\alpha,\overline{\alpha},r}

$$

が $z\mapsto z^3$ で閉じている，という条件に言い換える。

特に実数解 $r$ については $r^3$ も実数なので，実数解が1つしかないことから $r^3=r$ と決まる。この処理で $r=-1,0,1$ に絞れる。

虚数解 $\alpha$ については，$\alpha^3$ が $\alpha,\overline{\alpha},r$ のどれになるかを場合分けする。$\alpha^3=\alpha$ は虚数解にならず，$\alpha^3=\overline{\alpha}$ からは $\alpha=\pm i$，$\alpha^3=r$ からは $x^3-1$ と $x^3+1$ が得られる。

答え

求める3次式は

$$ \boxed{x^3-1,\quad x^3+1,\quad x^3+x^2+x+1,\quad x^3+x,\quad x^3-x^2+x-1}

$$

である。