基礎問題集
数学C 複素数平面「複素数平面」の問題12 解説
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解説
方針・初手
3つの解が正三角形の頂点であることから、まず3つの解の重心を考える。
3次方程式の解を $\alpha,\beta,\gamma$ とすると、解と係数の関係より
$$ \alpha+\beta+\gamma=-3a
$$
である。したがって、3点の重心は
$$ \frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}=-a
$$
である。
一辺の長さが $\sqrt{3}a$ の正三角形の外接円半径は
$$ \frac{\sqrt{3}a}{\sqrt{3}}=a
$$
であるから、3つの解は中心 $-a$、半径 $a$ の円周上にあり、偏角が $120^\circ$ ずつずれた形で表せる。
解法1
$\omega$ を $1$ の虚立方根の1つとして
$$ \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}
$$
とおく。このとき、3つの解はある複素数 $u$ で $|u|=1$ を満たすものを用いて
$$ -a+au,\quad -a+au\omega,\quad -a+au\omega^2
$$
と表せる。
したがって、これらを解にもつ3次方程式は
$$ {z-(-a+au)}{z-(-a+au\omega)}{z-(-a+au\omega^2)}=0
$$
である。これは
$$ (z+a-au)(z+a-au\omega)(z+a-au\omega^2)=0
$$
であり、$1,\omega,\omega^2$ は $X^3-1=0$ の解であるから
$$ (z+a)^3-a^3u^3=0
$$
となる。
これを展開すると
$$ z^3+3az^2+3a^2z+a^3(1-u^3)=0
$$
である。
一方、与えられた方程式は
$$ z^3+3az^2+bz+1=0
$$
であるから、係数を比較して
$$ b=3a^2
$$
かつ
$$ a^3(1-u^3)=1
$$
を得る。よって
$$ u^3=1-\frac{1}{a^3}
$$
である。
ここで $|u|=1$ だから $|u^3|=1$ である。したがって
$$ \left|1-\frac{1}{a^3}\right|=1
$$
が必要である。
$a>0$ より $\frac{1}{a^3}>0$ である。$x=\frac{1}{a^3}$ とおくと、
$$ |1-x|=1
$$
であるから
$$ 1-x=1 \quad \text{または} \quad 1-x=-1
$$
である。
前者は $x=0$ となり、$x=\frac{1}{a^3}>0$ に反する。したがって
$$ x=2
$$
であり、
$$ \frac{1}{a^3}=2
$$
となる。よって
$$ a^3=\frac{1}{2}
$$
であるから
$$ a=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}
$$
である。
また、
$$ b=3a^2
$$
より
$$ b=\frac{3}{\sqrt[3]{4}}
$$
である。
さらに
$$ u^3=1-\frac{1}{a^3}=1-2=-1
$$
である。よって $u$ は $-1$ の立方根であり、その集合は
$$ -1,\quad \frac{1+\sqrt{3}i}{2},\quad \frac{1-\sqrt{3}i}{2}
$$
である。
したがって、3つの解は
$$ -a+a(-1),\quad -a+a\frac{1+\sqrt{3}i}{2},\quad -a+a\frac{1-\sqrt{3}i}{2}
$$
である。これを整理すると
$$ -2a,\quad -\frac{a}{2}+\frac{\sqrt{3}a}{2}i,\quad -\frac{a}{2}-\frac{\sqrt{3}a}{2}i
$$
である。
$a=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ を代入して、3つの解は
$$ -\sqrt[3]{4},\quad -\frac{1}{2\sqrt[3]{2}}+\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt[3]{2}}i,\quad -\frac{1}{2\sqrt[3]{2}}-\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt[3]{2}}i
$$
である。
解説
この問題の要点は、3つの解を直接求めようとするのではなく、正三角形の重心と半径から解の形を先に決めることである。
解と係数の関係から、3つの解の重心が $-a$ と分かる。一方、一辺が $\sqrt{3}a$ の正三角形では、重心から各頂点までの距離は $a$ である。したがって、3つの解は中心 $-a$、半径 $a$ の円周上で $120^\circ$ ずつ離れた点になる。
この形を
$$ -a+au,\quad -a+au\omega,\quad -a+au\omega^2
$$
と置くと、方程式全体が
$$ (z+a)^3-a^3u^3=0
$$
にまとまる。あとは係数比較と $|u|=1$ の条件から $a,b$ が一意に決まる。
答え
$$ a=\frac{1}{\sqrt[3]{2}},\qquad b=\frac{3}{\sqrt[3]{4}}
$$
3つの解は
$$ -\sqrt[3]{4},\quad -\frac{1}{2\sqrt[3]{2}}+\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt[3]{2}}i,\quad -\frac{1}{2\sqrt[3]{2}}-\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt[3]{2}}i
$$
である。