解説

方針・初手

$z$ が $a$ と $b$ を結ぶ直線上にあることを、実数係数による一次結合で表す。複素数平面で直線上にある点は、ある実数 $t$ を用いて $z=(1-t)a+tb$ と書ける。あとは共役をとり、$|a|=|b|=1$ から $\overline{a}=1/a,\ \overline{b}=1/b$ を用いる。

解法1

$a$ と $b$ は相異なる複素数であるから、$a$ と $b$ を結ぶ直線は確定している。

$z$ がその直線上にあるので、ある実数 $t$ が存在して

$$ z=(1-t)a+tb

$$

と表せる。

ここで $t$ は実数であるから、両辺の共役をとると

$$ \overline{z}=(1-t)\overline{a}+t\overline{b}

$$

となる。

また、$|a|=|b|=1$ より

$$ a\overline{a}=1,\qquad b\overline{b}=1

$$

である。したがって

$$ \overline{a}=\frac{1}{a},\qquad \overline{b}=\frac{1}{b}

$$

である。

よって

$$ \begin{aligned} ab\overline{z} &=ab{(1-t)\overline{a}+t\overline{b}} \\ &=(1-t)ab\overline{a}+tab\overline{b} \\ &=(1-t)b+ta \end{aligned}

$$

となる。

したがって

$$ \begin{aligned} z+ab\overline{z} &={(1-t)a+tb}+{(1-t)b+ta} \\ &=(1-t)a+ta+tb+(1-t)b \\ &=a+b \end{aligned}

$$

となる。

ゆえに、$z$ が $a$ と $b$ を結ぶ直線上にあるとき、

$$ z+ab\overline{z}=a+b

$$

が成立する。

解説

この問題の要点は、「直線上にある」という幾何条件を

$$ z=(1-t)a+tb\qquad (t\in\mathbb{R})

$$

という代数条件に置き換えることである。

さらに、$|a|=|b|=1$ という条件は、複素数平面では $a,b$ が単位円上にあることを意味し、代数的には

$$ \overline{a}=\frac{1}{a},\qquad \overline{b}=\frac{1}{b}

$$

を意味する。この2つを組み合わせると、$ab\overline{z}$ が $z$ の係数を入れ替えた形になり、和をとることで $t$ が消える。

答え

示すべき等式は

$$ z+ab\overline{z}=a+b

$$

であり、$z=(1-t)a+tb\ (t\in\mathbb{R})$ と表すことで成立が示された。