解説

方針・初手

与えられた式は、$\alpha$ を基準にして $\beta-\alpha,\gamma-\alpha$ の形に直すと簡単になる。

特に

$$ 2\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-2\alpha\beta-2\alpha\gamma =(\beta-\alpha)^2+(\gamma-\alpha)^2

$$

であることに着目する。

解法1

まず、与式を変形する。

$$ 2\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-2\alpha\beta-2\alpha\gamma=0

$$

より、

$$ (\beta-\alpha)^2+(\gamma-\alpha)^2=0

$$

である。

$\alpha,\beta,\gamma$ は異なる複素数なので、$\beta-\alpha\neq 0$ である。したがって両辺を $(\beta-\alpha)^2$ で割ると、

$$ 1+\left(\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}\right)^2=0

$$

となる。よって

$$ \left(\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}\right)^2=-1

$$

であるから、

$$ \frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=\pm i

$$

を得る。

次に、複素数平面上で考える。点 $A(\alpha),B(\beta),C(\gamma)$ に対して、ベクトル $\overrightarrow{AB}$ に対応する複素数は $\beta-\alpha$、ベクトル $\overrightarrow{AC}$ に対応する複素数は $\gamma-\alpha$ である。

上で求めた結果から、

$$ \gamma-\alpha=\pm i(\beta-\alpha)

$$

である。複素数に $i$ または $-i$ をかけることは、長さを変えずに $90^\circ$ 回転することを表す。

したがって、

$$ AB=AC

$$

かつ

$$ \angle BAC=90^\circ

$$

である。よって、$\triangle ABC$ は $A$ を直角の頂点とする直角二等辺三角形である。

最後に、$\alpha,\beta,\gamma$ が

$$ x^3+kx+20=0

$$

の解である場合を考える。解と係数の関係より、

$$ \alpha+\beta+\gamma=0

$$

$$ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=k

$$

$$ \alpha\beta\gamma=-20

$$

である。

$\alpha+\beta+\gamma=0$ より、

$$ \gamma=-\alpha-\beta

$$

である。これをもとの条件式に代入する。

$$ 2\alpha^2+\beta^2+(-\alpha-\beta)^2-2\alpha\beta-2\alpha(-\alpha-\beta)=0

$$

整理すると、

$$ 5\alpha^2+2\alpha\beta+2\beta^2=0

$$

となる。

また $\alpha\beta\gamma=-20$ より $\alpha\neq 0$ であるから、$t=\dfrac{\beta}{\alpha}$ とおくと、

$$ 5+2t+2t^2=0

$$

すなわち

$$ 2t^2+2t+5=0

$$

である。これを解くと、

$$ t=\frac{-1\pm 3i}{2}

$$

である。

したがって、

$$ \beta=\alpha\cdot\frac{-1+3i}{2},\qquad \gamma=\alpha\cdot\frac{-1-3i}{2}

$$

またはこの $\beta,\gamma$ を入れ替えた形である。

積を用いると、

$$ \alpha\beta\gamma = \alpha^3\cdot \frac{(-1+3i)(-1-3i)}{4}

$$

である。ここで

$$ (-1+3i)(-1-3i)=1+9=10

$$

だから、

$$ \alpha\beta\gamma=\frac{5}{2}\alpha^3

$$

となる。$\alpha\beta\gamma=-20$ より、

$$ \frac{5}{2}\alpha^3=-20

$$

したがって、

$$ \alpha^3=-8

$$

である。

よって

$$ \alpha=-2,\quad 1+\sqrt{3}i,\quad 1-\sqrt{3}i

$$

が候補となる。

一方、

$$ k=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha

$$

であり、$\beta+\gamma=-\alpha$、また

$$ \beta\gamma=\alpha^2\cdot\frac{10}{4}=\frac{5}{2}\alpha^2

$$

だから、

$$ k=\alpha(\beta+\gamma)+\beta\gamma

$$

$$ k=-\alpha^2+\frac{5}{2}\alpha^2

$$

$$ k=\frac{3}{2}\alpha^2

$$

である。

$k$ は実数なので、$\alpha^2$ も実数でなければならない。候補のうち、$\alpha=1+\sqrt{3}i$ および $\alpha=1-\sqrt{3}i$ では $\alpha^2$ は実数でない。

したがって、

$$ \alpha=-2

$$

である。

このとき、

$$ \beta=-2\cdot\frac{-1+3i}{2}=1-3i

$$

$$ \gamma=-2\cdot\frac{-1-3i}{2}=1+3i

$$

または $\beta,\gamma$ を入れ替えて、

$$ \beta=1+3i,\qquad \gamma=1-3i

$$

である。

また、

$$ k=\frac{3}{2}\alpha^2=\frac{3}{2}\cdot 4=6

$$

となる。

解説

この問題の中心は、与式をそのまま扱わず、

$$ (\beta-\alpha)^2+(\gamma-\alpha)^2=0

$$

と見抜くことである。

これにより、$\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=\pm i$ がすぐに出る。複素数平面では、$i$ 倍は $90^\circ$ 回転、$-i$ 倍は $-90^\circ$ 回転を表すので、三角形の形も直ちに決まる。

後半では、解と係数の関係から

$$ \alpha+\beta+\gamma=0

$$

を使うのが要点である。これによって $\gamma$ を消去でき、$\beta/\alpha$ に関する二次方程式に帰着できる。

答え

**(1)**

$$ \frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=\pm i

$$

**(2)**

$\triangle ABC$ は、$A$ を直角の頂点とする直角二等辺三角形である。

**(3)**

$$ (\alpha,\beta,\gamma,k)=(-2,1+3i,1-3i,6)

$$

または

$$ (\alpha,\beta,\gamma,k)=(-2,1-3i,1+3i,6)

$$