解説

方針・初手

まず $z-i$ と $w-i$ を、直線 $AP$ を基準にした形へ直す。

$$ u=\frac{z-i}{\alpha-i}

$$

とおくと、$u$ は点 $Q$ の位置を、点 $P$ を原点、直線 $PA$ を実軸とみなしたときの複素数である。3点 $A,P,Q$ が同一直線上にないので、$u$ は実数ではない。

解法1

与えられた式より、

$$ \begin{aligned} w-i &=\frac{\alpha-i}{\bar{\alpha}+i}\bar{z} +\frac{\alpha+\bar{\alpha}}{\bar{\alpha}+i}i-i\\ &=\frac{(\alpha-i)\bar{z}+i(\alpha+\bar{\alpha})-i(\bar{\alpha}+i)}{\bar{\alpha}+i}\\ &=\frac{(\alpha-i)\bar{z}+i\alpha+1}{\bar{\alpha}+i}\\ &=\frac{(\alpha-i)(\bar{z}+i)}{\bar{\alpha}+i}. \end{aligned}

$$

ここで

$$ \bar{z}+i=\overline{z-i},\qquad \bar{\alpha}+i=\overline{\alpha-i}

$$

であるから、

$$ w-i =(\alpha-i)\overline{\frac{z-i}{\alpha-i}}.

$$

したがって

$$ u=\frac{z-i}{\alpha-i}

$$

とおくと、

$$ z-i=(\alpha-i)u,\qquad w-i=(\alpha-i)\bar{u}

$$

である。

よって、

$$ \left|\frac{w-i}{z-i}\right| = \left|\frac{(\alpha-i)\bar{u}}{(\alpha-i)u}\right|

\left|\frac{\bar{u}}{u}\right| =1.

$$

次に、

$$ \begin{aligned} \frac{z-w}{\alpha-i} &=\frac{(z-i)-(w-i)}{\alpha-i}\\ &=\frac{(\alpha-i)u-(\alpha-i)\bar{u}}{\alpha-i}\\ &=u-\bar{u}\\ &=2i\operatorname{Im}u. \end{aligned}

$$

3点 $A,P,Q$ は同一直線上にないので、$u$ は実数でない。したがって $\operatorname{Im}u\ne 0$ であり、$\dfrac{z-w}{\alpha-i}$ は $0$ でない純虚数である。

よって偏角 $\theta$ は

$$ \theta= \begin{cases} \dfrac{\pi}{2} & \left(\operatorname{Im}\dfrac{z-i}{\alpha-i}>0\right),\\[6pt] \dfrac{3\pi}{2} & \left(\operatorname{Im}\dfrac{z-i}{\alpha-i}<0\right). \end{cases}

$$

次に $\alpha=\sqrt{3}+2i$ とする。

正三角形では重心と外心が一致する。したがって、点 $Q$ は点 $P$ を中心 $A$ のまわりに $120^\circ$ または $240^\circ$ 回転した点である。

$$ \omega=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i

$$

とおくと、

$$ z-\alpha=(i-\alpha)\omega

$$

または

$$ z-\alpha=(i-\alpha)\omega^2

$$

である。

ここで

$$ \alpha=\sqrt3+2i,\qquad i-\alpha=-\sqrt3-i

$$

である。

まず、

$$ \begin{aligned} z &=\alpha+(i-\alpha)\omega\\ &=\sqrt3+2i+(-\sqrt3-i)\left(-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)\\ &=2\sqrt3+i. \end{aligned}

$$

また、

$$ \begin{aligned} z &=\alpha+(i-\alpha)\omega^2\\ &=\sqrt3+2i+(-\sqrt3-i)\left(-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)\\ &=\sqrt3+4i. \end{aligned}

$$

実際、これら2つの値は、直線 $AP$ に関して互いに対称な2点であり、与えられた式によって一方が他方に移る。したがって、どちらも条件を満たす。

解説

この問題の中心は、与えられた複雑な式をそのまま扱うのではなく、

$$ u=\frac{z-i}{\alpha-i}

$$

とおいて、直線 $AP$ を基準にした座標へ直すことである。

このとき

$$ z-i=(\alpha-i)u,\qquad w-i=(\alpha-i)\bar{u}

$$

となるので、点 $R$ は点 $Q$ を直線 $AP$ に関して対称移動した点であると分かる。

したがって、$PQ=PR$ であり、さらに $QR$ は $AP$ に垂直である。これが(1)、(2)の内容である。

(3)では、正三角形の重心は外心でもあることを使う。点 $P$ を中心 $A$ のまわりに $\pm120^\circ$ 回転するだけで、残りの2頂点が得られる。

答え

**(1)**

$$ \left|\frac{w-i}{z-i}\right|=1

$$

**(2)**

$$ \theta= \begin{cases} \dfrac{\pi}{2} & \left(\operatorname{Im}\dfrac{z-i}{\alpha-i}>0\right),\\[6pt] \dfrac{3\pi}{2} & \left(\operatorname{Im}\dfrac{z-i}{\alpha-i}<0\right). \end{cases}

$$

**(3)**

$$ z=2\sqrt3+i,\qquad \sqrt3+4i

$$