解説

方針・初手

複素平面上の平行移動・回転・拡大縮小・共役変換は、正三角形であること、中点であること、垂直であることを保つ。

したがって、$A=0,\ B=1$ とし、必要なら共役変換を用いて $C=z\ (\operatorname{Im}z>0)$ としてよい。このとき、正三角形の第3頂点を具体的に表し、中点の座標を計算して、$\overrightarrow{MN}$ が $\overrightarrow{BC}$ の $90^\circ$ 回転になっていることを示す。

解法1

$A=0,\ B=1,\ C=z\ (\operatorname{Im}z>0)$ とおく。また、

$$ \omega=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}

$$

とする。

正三角形 $ADB$ の第3頂点は $\omega,\overline{\omega}$ のいずれかである。$C$ は直線 $AB$ の上側にあるので、$D$ はその反対側にある。したがって

$$ d=\overline{\omega}=\frac{1-\sqrt{3}i}{2}

$$

である。

次に、正三角形 $ACE$ の第3頂点は $\omega z,\overline{\omega}z$ のいずれかである。直線 $AC$ に対する側を調べると、点 $B=1$ について

$$ \operatorname{Im}\frac{1}{z} = \operatorname{Im}\frac{\overline{z}}{|z|^2}

-\frac{\operatorname{Im}z}{|z|^2} <0

$$

である。一方、

$$ \begin{aligned} \operatorname{Im}\frac{\omega z}{z} &= \operatorname{Im}\omega\\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} > 0 $$

であるから、$B$ と $\omega z$ は直線 $AC$ に関して反対側にある。よって

$$

e=\omega z

$$

である。

ここで、$K,L,M,N$ の複素数表示をそれぞれ $k,l,m,n$ とする。中点の定義より、

$$

k=\frac{1}{2},\qquad l=\frac{z}{2}

$$

である。また、

$$

m=\frac{d+e}{2} =\frac{\overline{\omega}+\omega z}{2}

$$

であり、$N$ は $KL$ の中点だから

$$

n=\frac{k+l}{2} =\frac{1+z}{4}

$$

である。

したがって、

$$

\begin{aligned} n-m &= \frac{1+z}{4}-\frac{\overline{\omega}+\omega z}{2} \\ &= \frac{1+z-2\overline{\omega}-2\omega z}{4} \\ &= \frac{(1-2\overline{\omega})+(1-2\omega)z}{4} \end{aligned}

$$

となる。ここで

$$

1-2\overline{\omega}=i\sqrt{3},\qquad 1-2\omega=-i\sqrt{3}

$$

であるから、

$$

\begin{aligned} n-m &= \frac{i\sqrt{3}-i\sqrt{3}z}{4} \\ &= -\frac{i\sqrt{3}}{4}(z-1) \end{aligned}

$$

を得る。

一方、$\overrightarrow{BC}$ を表す複素数は

$$

z-1

$$

である。したがって

$$

\overrightarrow{MN} =-\frac{i\sqrt{3}}{4}\overrightarrow{BC}

$$

である。複素数に $i$ または $-i$ を掛けることは、向きを $90^\circ$ 回転させることを意味する。

よって、直線 $MN$ と直線 $BC$ は垂直である。

解説

この問題の要点は、正三角形の第3頂点を複素数の回転で表すことである。$60^\circ$ 回転は $\omega$ 倍、$-60^\circ$ 回転は $\overline{\omega}$ 倍に対応する。

また、どちら側に正三角形を作るかを条件から正しく選ぶ必要がある。ここでは $C$ を直線 $AB$ の上側に置いたので、$D$ は下側となり $d=\overline{\omega}$ である。一方、$E$ は直線 $AC$ に関して $B$ と反対側にあるので $e=\omega z$ となる。

最後は中点の座標を計算すると、$\overrightarrow{MN}$ が $\overrightarrow{BC}$ に $-i$ を掛けたものの実数倍になる。これは $MN$ が $BC$ を $90^\circ$ 回転した方向であることを表している。

答え

直線 $MN$ と直線 $BC$ は垂直である。