基礎問題集
数学C 複素数平面「複素数平面(軌跡問題)」の問題9 解説
数学Cの複素数平面「複素数平面(軌跡問題)」にある問題9の基礎問題と解説ページです。問題と保存済み解説を公開し、ログイン後はAI質問と学習履歴も利用できます。
MathGrAIl の基礎問題集にある公開問題ページです。ログイン前でも問題と保存済み解説を確認でき、ログイン後はAI質問と学習履歴の保存を利用できます。
- 基礎問題の問題画像と保存済み解説を公開
- ログイン後にAI質問で復習
- ログイン後に学習履歴を保存
解説
方針・初手
$w=1/z$ であるから、$w=X+Yi$ とおくと $z=1/w$ である。したがって、三角形の各辺を表す直線の条件を $X,Y$ の条件に変換すればよい。
各辺は直線であるが、原点を通らない直線なので、反転 $w=1/z$ によって原点を通る円の一部に移る。
解法1
$z=x+yi$，$w=X+Yi$ とおく。$w=1/z$ より
$$ z=\frac{1}{w}=\frac{X-Yi}{X^2+Y^2}
$$
であるから、
$$ x=\frac{X}{X^2+Y^2},\qquad y=-\frac{Y}{X^2+Y^2}
$$
となる。
まず、各頂点の移る先を求める。
$$ A:\ z=\frac{i}{2}\quad\Longrightarrow\quad w=\frac{1}{i/2}=-2i
$$
$$ B:\ z=-\frac12+\frac{i}{2}\quad\Longrightarrow\quad w=\frac{1}{(-1+i)/2}=-1-i
$$
$$ C:\ z=-\frac12\quad\Longrightarrow\quad w=\frac{1}{-1/2}=-2
$$
したがって、$w$ の軌跡は $-2i$，$-1-i$，$-2$ を結ぶ3つの円弧になる。
**(i)**
辺 $AB$ の像を求める。
辺 $AB$ は
$$ y=\frac12,\qquad -\frac12\leqq x\leqq 0
$$
である。$y=-Y/(X^2+Y^2)$ を代入すると
$$ -\frac{Y}{X^2+Y^2}=\frac12
$$
より
$$ X^2+Y^2=-2Y
$$
すなわち
$$ X^2+(Y+1)^2=1
$$
である。
端点は $B\mapsto -1-i$，$A\mapsto -2i$ であるから、辺 $AB$ の像は、円
$$ X^2+(Y+1)^2=1
$$
上の $-1-i$ と $-2i$ を結ぶ円弧である。ただし、原点を通らない側の円弧である。
**(ii)**
辺 $BC$ の像を求める。
辺 $BC$ は
$$ x=-\frac12,\qquad 0\leqq y\leqq \frac12
$$
である。$x=X/(X^2+Y^2)$ を代入すると
$$ \frac{X}{X^2+Y^2}=-\frac12
$$
より
$$ X^2+Y^2=-2X
$$
すなわち
$$ (X+1)^2+Y^2=1
$$
である。
端点は $C\mapsto -2$，$B\mapsto -1-i$ であるから、辺 $BC$ の像は、円
$$ (X+1)^2+Y^2=1
$$
上の $-2$ と $-1-i$ を結ぶ円弧である。ただし、原点を通らない側の円弧である。
**(iii)**
辺 $CA$ の像を求める。
辺 $CA$ は、$C(-1/2,0)$ と $A(0,1/2)$ を結ぶ直線なので
$$ y-x=\frac12
$$
である。ここに
$$ x=\frac{X}{X^2+Y^2},\qquad y=-\frac{Y}{X^2+Y^2}
$$
を代入すると
$$ -\frac{Y}{X^2+Y^2}-\frac{X}{X^2+Y^2}=\frac12
$$
である。したがって
$$ -\frac{X+Y}{X^2+Y^2}=\frac12
$$
より
$$ X^2+Y^2=-2X-2Y
$$
となる。よって
$$ (X+1)^2+(Y+1)^2=2
$$
である。
端点は $C\mapsto -2$，$A\mapsto -2i$ であるから、辺 $CA$ の像は、円
$$ (X+1)^2+(Y+1)^2=2
$$
上の $-2$ と $-2i$ を結ぶ円弧である。ただし、原点を通らない側、すなわち点 $-2-2i$ を通る側の円弧である。
以上より、求める図形は次の3つの円弧からなる。
$$ X^2+(Y+1)^2=1
$$
のうち、$-1-i$ と $-2i$ を結ぶ原点を通らない円弧、
$$ (X+1)^2+Y^2=1
$$
のうち、$-2$ と $-1-i$ を結ぶ原点を通らない円弧、
$$ (X+1)^2+(Y+1)^2=2
$$
のうち、$-2$ と $-2i$ を結ぶ原点を通らない円弧である。
解説
直線は一般に反転 $w=1/z$ によって円または直線に移る。今回の三角形の3辺はいずれも原点を通らない直線なので、像はすべて原点を通る円になる。
ただし、円全体が軌跡になるわけではない。$z$ は各辺の線分上だけを動くので、対応するのは円の一部分である。端点の像を先に求めておくと、どの円弧を取るべきかが明確になる。
作図では、次の3点
$$ -2,\qquad -1-i,\qquad -2i
$$
をとり、それらを3つの円弧で結ぶ。$-2$ と $-2i$ を結ぶ大きい円弧は、点 $-2-2i$ を通る側である。
答え
$w=X+Yi$ とすると、求める図形は次の3つの円弧の和集合である。
$$ X^2+(Y+1)^2=1
$$
上の $-1-i$ から $-2i$ までの原点を通らない円弧、
$$ (X+1)^2+Y^2=1
$$
上の $-2$ から $-1-i$ までの原点を通らない円弧、
$$ (X+1)^2+(Y+1)^2=2
$$
上の $-2$ から $-2i$ までの原点を通らない円弧。
したがって、$w$ の描く図形は、頂点 $-2,\ -1-i,\ -2i$ をもつ3本の円弧で囲まれた曲線三角形の境界である。