解説

方針・初手

絶対値の等式は、両辺を2乗して $z=x+yi$ とおくと、$x,y$ の2次方程式になる。2次の係数が $0$ でなければ円、$0$ なら直線になるので、まず標準形まで整理する。

解法1

$z=x+yi$ とおく。ただし $x,y$ は実数である。

左辺は

$$ |3z+it|^2=|3x+i(3y+t)|^2=9x^2+(3y+t)^2

$$

である。

また、

$$ (t+2i)z-1=(tx-2y-1)+i(ty+2x)

$$

より、

$$ |(t+2i)z-1|^2=(tx-2y-1)^2+(ty+2x)^2

$$

である。これを整理すると、

$$ |(t+2i)z-1|^2=(t^2+4)(x^2+y^2)-2tx+4y+1

$$

となる。

したがって、与えられた方程式は

$$ 9x^2+9y^2+6ty+t^2=(t^2+4)(x^2+y^2)-2tx+4y+1

$$

である。移項して整理すると、

$$ (5-t^2)(x^2+y^2)+2tx+(6t-4)y+t^2-1=0

$$

を得る。

ここで、$x^2+y^2$ の係数が $0$ であるとき、すなわち

$$ 5-t^2=0

$$

のとき、この図形は円ではなく直線になる。よって

$$ t^2=5

$$

である。

次に、$t^2\neq 5$ のとき中心を求める。一般に

$$ A(x^2+y^2)+Bx+Cy+D=0

$$

の中心は

$$ \left(-\frac{B}{2A},-\frac{C}{2A}\right)

$$

である。

今回、

$$ A=5-t^2,\quad B=2t,\quad C=6t-4

$$

だから、中心を表す複素数 $w$ は

$$ w=-\frac{t}{5-t^2}-\frac{6t-4}{2(5-t^2)}i

$$

である。これを分母を $t^2-5$ にそろえて書くと、

$$ w=\frac{t}{t^2-5}+\frac{3t-2}{t^2-5}i

$$

となる。

したがって

$$ \operatorname{Im} w=\frac{3t-2}{t^2-5}

$$

である。$C_t$ が円である範囲では $t^2\neq 5$ だから、$\operatorname{Im} w=0$ となるのは

$$ 3t-2=0

$$

すなわち

$$ t=\frac{2}{3}

$$

のときである。

このとき

$$ \operatorname{Re} w=\frac{t}{t^2-5}

$$

より、

$$ \begin{aligned} \operatorname{Re} w &= \frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{9}-5}\\ &= \frac{\frac{2}{3}}{-\frac{41}{9}} \end{aligned} -\frac{6}{41}

$$

である。

次に、$w$ の偏角を $\theta$ とする。$t\to\infty$ では $t^2-5>0$ であり、

$$ \operatorname{Re} w=\frac{t}{t^2-5},\quad \operatorname{Im} w=\frac{3t-2}{t^2-5}

$$

だから、

$$ \begin{aligned} \tan\theta &= \frac{\operatorname{Im} w}{\operatorname{Re} w}\\ &= \frac{3t-2}{t}\\ &= 3-\frac{2}{t} \end{aligned} $$

である。よって

$$ \lim_{t\to\infty}\tan\theta=3

$$

である。

最後に、

$$ |w| = \frac{\sqrt{t^2+(3t-2)^2}}{|t^2-5|}

$$

である。$t\to\infty$ では $t^2-5>0$ だから、

$$ t|w| = \frac{t\sqrt{t^2+(3t-2)^2}}{t^2-5}

$$

となる。分子の平方根の中を整理すると、

$$ t^2+(3t-2)^2=10t^2-12t+4

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} t|w| &= \frac{t\sqrt{10t^2-12t+4}}{t^2-5}\\ &= \frac{t^2\sqrt{10-\frac{12}{t}+\frac{4}{t^2}}}{t^2\left(1-\frac{5}{t^2}\right)} \end{aligned} $$

となる。したがって

$$ \lim_{t\to\infty}t|w|=\sqrt{10}

$$

である。

解説

この問題の中心は、複素数の絶対値方程式を $x,y$ の方程式に直すことである。

特に、円になるかどうかは、整理後の $x^2+y^2$ の係数を見るだけで判定できる。係数が $0$ になると2次曲線ではなく直線になるため、そこが「円でない」場合である。

また、中心を求めた後は、偏角そのものを直接求める必要はない。偏角 $\theta$ については

$$ \tan\theta=\frac{\operatorname{Im} w}{\operatorname{Re} w}

$$

を用いればよい。

答え

$$ \boxed{\text{カ}=5}

$$

$$ \boxed{\text{キ}=\frac{2}{3}}

$$

$$ \boxed{\text{ク}=-\frac{6}{41}}

$$

$$ \boxed{\text{ケ}=3}

$$

$$ \boxed{\text{コ}=\sqrt{10}}

$$