解説

方針・初手

正の整数 $n$ については加法定理を用いた数学的帰納法で示す。次に $n=0$ を確認し、負の整数 $n$ については逆数を用いて正の整数の場合に帰着する。

解法1

まず $n$ が正の整数の場合を示す。

$n=1$ のとき、

$$ (\cos\theta+i\sin\theta)^1=\cos\theta+i\sin\theta

$$

であり、成り立つ。

ある正の整数 $k$ について

$$ (\cos\theta+i\sin\theta)^k=\cos k\theta+i\sin k\theta

$$

が成り立つと仮定する。このとき、

$$ \begin{aligned} (\cos\theta+i\sin\theta)^{k+1} &=(\cos\theta+i\sin\theta)^k(\cos\theta+i\sin\theta)\\ &=(\cos k\theta+i\sin k\theta)(\cos\theta+i\sin\theta)\\ &=\cos k\theta\cos\theta-\sin k\theta\sin\theta\\ &\quad+i(\sin k\theta\cos\theta+\cos k\theta\sin\theta)\\ &=\cos (k+1)\theta+i\sin (k+1)\theta. \end{aligned}

$$

よって、数学的帰納法により、すべての正の整数 $n$ について

$$ (\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta

$$

が成り立つ。

次に、$n=0$ の場合を確認する。

$$ (\cos\theta+i\sin\theta)^0=1

$$

であり、また

$$ \cos 0\theta+i\sin 0\theta=\cos 0+i\sin 0=1

$$

であるから、$n=0$ でも成り立つ。

最後に、$n$ が負の整数の場合を考える。$n=-m$ とおくと、$m$ は正の整数である。

すでに示した正の整数の場合より、

$$ (\cos\theta+i\sin\theta)^m=\cos m\theta+i\sin m\theta

$$

である。また、

$$ (\cos m\theta+i\sin m\theta)(\cos m\theta-i\sin m\theta) =\cos^2m\theta+\sin^2m\theta=1

$$

だから、

$$ \frac{1}{\cos m\theta+i\sin m\theta} =\cos m\theta-i\sin m\theta

$$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} (\cos\theta+i\sin\theta)^n &=(\cos\theta+i\sin\theta)^{-m}\\ &=\frac{1}{(\cos\theta+i\sin\theta)^m}\\ &=\frac{1}{\cos m\theta+i\sin m\theta}\\ &=\cos m\theta-i\sin m\theta. \end{aligned}

$$

一方、$n=-m$ であるから、

$$ \cos n\theta+i\sin n\theta =\cos(-m\theta)+i\sin(-m\theta) =\cos m\theta-i\sin m\theta.

$$

よって、負の整数 $n$ についても

$$ (\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta

$$

が成り立つ。

以上より、$n$ が正、零、負のいずれの整数であっても、

$$ (\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta

$$

が成り立つ。

解説

この公式はド・モアブルの定理である。正の整数の場合は、複素数の積と三角関数の加法定理が対応していることを使うのが本質である。

負の整数の場合は、そのまま帰納法を使うのではなく、正の整数の場合を示したあとに逆数を取る。ここで

$$ |\cos\theta+i\sin\theta|=1

$$

であるため、この複素数は $0$ ではなく、負の指数も問題なく定義できる。

答え

すべての整数 $n$ について、

$$ (\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta

$$

が成り立つ。