基礎問題集
数学C 複素数平面「ド・モアブルの定理」の問題5 解説
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解説
方針・初手
右辺の複素数 $\sqrt{3}+i$ を極形式で表し、$x=\cos\theta+i\sin\theta$ に対してド・モアブルの定理を用いる。
解法1
まず、右辺を極形式に直す。
$$ \sqrt{3}+i=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)
$$
したがって、方程式
$$ 2x^5=\sqrt{3}+i
$$
は
$$ 2x^5=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)
$$
となる。両辺を $2$ で割ると、
$$ x^5=\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}
$$
である。
ここで
$$ x=\cos\theta+i\sin\theta
$$
より、ド・モアブルの定理から
$$ x^5=\cos5\theta+i\sin5\theta
$$
である。よって
$$ \cos5\theta+i\sin5\theta=\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}
$$
となるので、
$$ 5\theta=\frac{\pi}{6}+2k\pi
$$
と表せる。ただし $k$ は整数である。
したがって
$$ \theta=\frac{\pi}{30}+\frac{2k\pi}{5}
$$
である。
条件 $0\leqq \theta<2\pi$ より、
$$ 0\leqq \frac{\pi}{30}+\frac{2k\pi}{5}<2\pi
$$
を満たす整数 $k$ を求める。この範囲に入るのは
$$ k=0,1,2,3,4
$$
である。
よって、求める $\theta$ は
$$ \theta=\frac{\pi}{30},\frac{13\pi}{30},\frac{25\pi}{30},\frac{37\pi}{30},\frac{49\pi}{30}
$$
である。ここで $\frac{25\pi}{30}=\frac{5\pi}{6}$ だから、
$$ \theta=\frac{\pi}{30},\frac{13\pi}{30},\frac{5\pi}{6},\frac{37\pi}{30},\frac{49\pi}{30}
$$
となる。
解説
この問題では、複素数を極形式に直して偏角を比較することが中心である。
注意すべき点は、偏角は $2\pi$ の整数倍だけずれても同じ複素数を表すことである。そのため、
$$ 5\theta=\frac{\pi}{6}
$$
だけで終わらず、
$$ 5\theta=\frac{\pi}{6}+2k\pi
$$
とおく必要がある。
また、最後に $0\leqq\theta<2\pi$ の範囲に入るものだけを選ぶことも必要である。
答え
$$ \theta=\frac{\pi}{30},\frac{13\pi}{30},\frac{5\pi}{6},\frac{37\pi}{30},\frac{49\pi}{30}
$$