基礎問題集
数学C 複素数平面「ド・モアブルの定理」の問題9 解説
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解説
方針・初手
$\alpha$ は $1$ ではない $3$ 乗根であることに注目する。すなわち、
$$ \alpha^3=1,\qquad 1+\alpha+\alpha^2=0
$$
が成り立つ。したがって、$3$ 個ずつの組に分けると和が簡単になる。
解法1
$\alpha$ は
$$ \alpha=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}
$$
であるから、
$$ \alpha^2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2},\qquad \alpha^3=1
$$
である。また、$\alpha\neq 1$ より
$$ 1+\alpha+\alpha^2=0
$$
が成り立つ。
まず $S_{3m}$ を求める。
$$ S_{3m}=\sum_{k=1}^{3m}\alpha^{k-1}
$$
である。指数を $0,1,2$ の周期でまとめると、
$$ S_{3m} =(1+\alpha+\alpha^2)+(1+\alpha+\alpha^2)+\cdots +(1+\alpha+\alpha^2)
$$
となり、これが $m$ 組ある。したがって、
$$ S_{3m}=m(1+\alpha+\alpha^2)=0
$$
である。
次に $T_{3m}$ を求める。
$$ T_{3m}=\sum_{k=1}^{3m}k\alpha^{k-1}
$$
である。$k=3j+1,3j+2,3j+3$ の $3$ 項ずつに分ける。ただし、$j=0,1,\dots,m-1$ とする。
このとき、
$$ \begin{aligned} T_{3m} &=\sum_{j=0}^{m-1}\left\{(3j+1)\alpha^{3j}+(3j+2)\alpha^{3j+1}+(3j+3)\alpha^{3j+2}\right\} \\ &=\sum_{j=0}^{m-1}\left\{(3j+1)+(3j+2)\alpha+(3j+3)\alpha^2\right\}. \end{aligned}
$$
ここで $1+\alpha+\alpha^2=0$ を使うために整理すると、
$$ \begin{aligned} (3j+1)+(3j+2)\alpha+(3j+3)\alpha^2 &=(3j+1)(1+\alpha+\alpha^2)+\alpha+2\alpha^2 \\ &=\alpha+2\alpha^2. \end{aligned}
$$
したがって、各組の和は $j$ によらず一定であるから、
$$ T_{3m}=m(\alpha+2\alpha^2)
$$
となる。
さらに、
$$ \begin{aligned} \alpha+2\alpha^2 &=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}+2\cdot \frac{-1-\sqrt{3}i}{2} \\ &=\frac{-3-\sqrt{3}i}{2} \end{aligned}
$$
より、
$$ T_{3m}=-\frac{m}{2}(3+\sqrt{3}i)
$$
である。
最後に $T_{2014}$ を求める。$2014=3\cdot 671+1$ であるから、
$$ T_{2014}=T_{2013}+2014\alpha^{2013}
$$
である。ここで $\alpha^{2013}=(\alpha^3)^{671}=1$ だから、
$$ T_{2014}=T_{2013}+2014
$$
となる。
また、$2013=3\cdot 671$ より、先ほどの結果から
$$ T_{2013}=T_{3\cdot 671} =-\frac{671}{2}(3+\sqrt{3}i)
$$
である。よって、
$$ \begin{aligned} T_{2014} &=2014-\frac{671}{2}(3+\sqrt{3}i) \\ &=\frac{4028-2013}{2}-\frac{671\sqrt{3}}{2}i \\ &=\frac{2015-671\sqrt{3}i}{2}. \end{aligned}
$$
解説
この問題の中心は、$\alpha$ が $1$ でない $3$ 乗根であることを見抜く点にある。
$S_{3m}$ は $1+\alpha+\alpha^2$ がそのまま $m$ 回出てくるので、すぐに $0$ になる。一方、$T_{3m}$ は係数 $k$ が付いているため、単純に $1+\alpha+\alpha^2$ だけでは消えない。そこで $3$ 項ずつまとめ、各組の和を計算するのが自然である。
$T_{2014}$ は $2014=3\cdot 671+1$ と分ければ、$T_{2013}$ に最後の $1$ 項を足すだけでよい。
答え
**(1)**
$$ S_{3m}=0
$$
**(2)**
$$ T_{3m}=-\frac{m}{2}(3+\sqrt{3}i)
$$
**(3)**
$$ T_{2014}=\frac{2015-671\sqrt{3}i}{2}
$$