解説

方針・初手

分母 $z-z^{-1}$ は共通なので、まず $z^{n-1}a_n$ を等比数列の和に直す。これにより $a_n$ の形が見えやすくなり、三角関数表示や周期性も処理しやすくなる。

解法1

まず

$$ a_n=\frac{z^n-z^{-n}}{z-z^{-1}}

$$

であるから、両辺に $z^{n-1}$ をかけると

$$ z^{n-1}a_n = \frac{z^{2n-1}-z^{-1}}{z-z^{-1}}

$$

となる。分母を $z-z^{-1}=\dfrac{z^2-1}{z}$ と直すと、

$$ z^{n-1}a_n = \frac{z^{2n}-1}{z^2-1}

$$

である。ここで $z\neq \pm 1$ より $z^2\neq 1$ なので、等比数列の和の公式を用いて

$$ z^{n-1}a_n = 1+z^2+z^4+\cdots+z^{2n-2}

$$

となる。したがって、求める多項式は

$$ z^{n-1}a_n=\sum_{j=0}^{n-1}z^{2j}

$$

である。

次に、$z=\cos\theta+i\sin\theta$ とする。このとき

$$ z^{-1}=\cos\theta-i\sin\theta

$$

であり、一般に

$$ z^k+z^{-k}=2\cos k\theta

$$

が成り立つ。

まず

$$ a_2=\frac{z^2-z^{-2}}{z-z^{-1}}

$$

について、分子を因数分解すると

$$ z^2-z^{-2}=(z-z^{-1})(z+z^{-1})

$$

であるから、

$$ a_2=z+z^{-1}=2\cos\theta

$$

である。

次に

$$ a_3=\frac{z^3-z^{-3}}{z-z^{-1}}

$$

について、

$$ z^3-z^{-3}=(z-z^{-1})(z^2+1+z^{-2})

$$

より、

$$ a_3=z^2+1+z^{-2}

$$

である。したがって

$$ a_3=1+2\cos2\theta

$$

となる。

同様に、

$$ z^4-z^{-4}=(z-z^{-1})(z^3+z+z^{-1}+z^{-3})

$$

であるから、

$$ a_4=z^3+z+z^{-1}+z^{-3}

$$

となる。よって

$$ a_4=2\cos3\theta+2\cos\theta

$$

である。

次に、$z^m=1$ とする。このとき

$$ z^{m+n}=z^m z^n=z^n

$$

であり、また $z^m=1$ より $z^{-m}=1$ も成り立つので

$$ z^{-(m+n)}=z^{-m}z^{-n}=z^{-n}

$$

である。したがって

$$ \begin{aligned} a_{m+n} &= \frac{z^{m+n}-z^{-(m+n)}}{z-z^{-1}}\\ &= \frac{z^n-z^{-n}}{z-z^{-1}}\\ &= a_n \end{aligned} $$

となる。よって

$$ a_n=a_{m+n}

$$

が示された。

最後に、

$$ z=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}

$$

とする。このとき $z^6=1$ であるから、前問より

$$ a_{n+6}=a_n

$$

である。したがって $a_n$ は周期 $6$ をもつ。

また、

$$ z=e^{i\pi/3}

$$

と書けるので、

$$ \begin{aligned} a_n &= \frac{e^{in\pi/3}-e^{-in\pi/3}}{e^{i\pi/3}-e^{-i\pi/3}}\\ &= \frac{2i\sin\frac{n\pi}{3}}{2i\sin\frac{\pi}{3}}\\ &= \frac{\sin\frac{n\pi}{3}}{\sin\frac{\pi}{3}} \end{aligned} $$

である。ここで

$$ \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}

$$

なので、

$$ a_n=\frac{2}{\sqrt{3}}\sin\frac{n\pi}{3}

$$

となる。

$n$ を $6$ で割った余りで分類すると、

$$ a_n= \begin{cases} 1 & (n\equiv 1,2 \pmod 6),\\ 0 & (n\equiv 0,3 \pmod 6),\\ -1 & (n\equiv 4,5 \pmod 6). \end{cases}

$$

解説

この問題の中心は、$a_n$ が

$$ \frac{z^n-z^{-n}}{z-z^{-1}}

$$

という形をしている点である。これは $z$ と $z^{-1}$ の差で割っているので、等比数列の和として整理できる。

特に

$$ z^{n-1}a_n=1+z^2+z^4+\cdots+z^{2n-2}

$$

とできることが重要である。この形にしておくと、多項式表示だけでなく、$z^m=1$ のときの周期性も見通しやすい。

また、$z=\cos\theta+i\sin\theta$ のときは

$$ z^k+z^{-k}=2\cos k\theta

$$

を使うのが基本である。$a_2,a_3,a_4$ は、分子を因数分解してから $z^k+z^{-k}$ の形にまとめればよい。

答え

**(1)**

$$ z^{n-1}a_n=1+z^2+z^4+\cdots+z^{2n-2} = \sum_{j=0}^{n-1}z^{2j}

$$

**(2)**

$$ a_2=2\cos\theta

$$

$$ a_3=1+2\cos2\theta

$$

$$ a_4=2\cos\theta+2\cos3\theta

$$

**(3)**

$$ a_n=a_{m+n}

$$

**(4)**

$$ a_n= \frac{2}{\sqrt{3}}\sin\frac{n\pi}{3}

$$

すなわち

$$ a_n= \begin{cases} 1 & (n\equiv 1,2 \pmod 6),\\ 0 & (n\equiv 0,3 \pmod 6),\\ -1 & (n\equiv 4,5 \pmod 6). \end{cases}

$$