基礎問題集
数学C 複素数平面「ド・モアブルの定理」の問題18 解説
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解説
方針・初手
$z=\cos\dfrac{2\pi}{7}+i\sin\dfrac{2\pi}{7}$ は $1$ でない $7$ 乗根であるから、
$$ z^7=1,\qquad z\ne 1
$$
を使う。したがって、$1,z,z^2,\ldots,z^6$ は $7$ 乗して $1$ になる複素数であり、等比数列の和や $x^7-1$ の因数分解を利用するのが基本方針である。
解法1
まず、$z^7=1$ かつ $z\ne 1$ より、
$$ 1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6=0
$$
である。
したがって、
$$ z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6=-1
$$
となる。
次に、
$$ \alpha=z+z^2+z^4
$$
とおく。$\overline{z}=z^{-1}=z^6$ であるから、
$$ \overline{\alpha} =\overline{z}+\overline{z^2}+\overline{z^4} =z^6+z^5+z^3
$$
である。よって、
$$ \alpha+\overline{\alpha} =z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6 =-1
$$
である。
また、
$$ \begin{aligned} \alpha\overline{\alpha} &=(z+z^2+z^4)(z^6+z^5+z^3)\\ &=(z^7+z^6+z^4)+(z^8+z^7+z^5)+(z^{10}+z^9+z^7) \end{aligned}
$$
である。ここで $z^7=1$ を用いて指数を $7$ で割った余りに直すと、
$$ \begin{aligned} \alpha\overline{\alpha} &=(1+z^6+z^4)+(z+1+z^5)+(z^3+z^2+1)\\ &=3+(z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6)\\ &=3-1\\ &=2 \end{aligned}
$$
となる。
したがって、$\alpha$ と $\overline{\alpha}$ は、和が $-1$、積が $2$ である $2$ 数である。よって、$\alpha$ は方程式
$$ t^2+t+2=0
$$
の解である。これを解くと、
$$ t=\frac{-1\pm i\sqrt{7}}{2}
$$
である。
あとは符号を決める。$\alpha$ の虚部は
$$ \operatorname{Im}\alpha =\sin\frac{2\pi}{7}+\sin\frac{4\pi}{7}+\sin\frac{8\pi}{7}
$$
である。ここで
$$ \sin\frac{8\pi}{7}=-\sin\frac{\pi}{7}
$$
より、
$$ \operatorname{Im}\alpha =\sin\frac{2\pi}{7}+\sin\frac{4\pi}{7}-\sin\frac{\pi}{7}
$$
である。さらに $\sin\dfrac{4\pi}{7}=\sin\dfrac{3\pi}{7}>\sin\dfrac{\pi}{7}$ であり、$\sin\dfrac{2\pi}{7}>0$ だから、
$$ \operatorname{Im}\alpha>0
$$
である。よって、
$$ \alpha=\frac{-1+i\sqrt{7}}{2}
$$
となる。
最後に、$z,z^2,\ldots,z^6$ は $1$ 以外の $7$ 乗根なので、
$$ x^7-1=(x-1)(x-z)(x-z^2)(x-z^3)(x-z^4)(x-z^5)(x-z^6)
$$
である。両辺を $x-1$ で割ると、
$$ x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 =(x-z)(x-z^2)(x-z^3)(x-z^4)(x-z^5)(x-z^6)
$$
である。ここで $x=1$ を代入すると、
$$ 7=(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)
$$
である。
解説
この問題では、$z$ を具体的な三角関数として扱うよりも、$z$ が $1$ でない $7$ 乗根であることを使うのが本質である。
特に、
$$ 1+z+z^2+\cdots+z^6=0
$$
と、
$$ x^7-1=\prod_{k=0}^{6}(x-z^k)
$$
を使えるかどうかが計算量を大きく左右する。
また、$\alpha=z+z^2+z^4$ は、共役をとると指数が $7$ に関する逆元に変わる点が重要である。すなわち、
$$ \overline{z^k}=z^{-k}=z^{7-k}
$$
を用いることで、$\alpha+\overline{\alpha}$ と $\alpha\overline{\alpha}$ が簡単に求まる。
答え
**(1)**
$$ z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6=-1
$$
**(2)**
$$ \alpha+\overline{\alpha}=-1
$$
$$ \alpha\overline{\alpha}=2
$$
$$ \alpha=\frac{-1+i\sqrt{7}}{2}
$$
**(3)**
$$ (1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)=7
$$