解説

方針・初手

$z$ は $k$ 乗すると $1$ になる複素数であり、指数の差が $k$ の倍数かどうかで値が決まる。

まず、任意の整数 $r$ について

$$ z^r=1 \Longleftrightarrow k \mid r

$$

を確認し、これを各問いに使う。

解法1

$z$ は

$$ z=\cos \frac{2\pi}{k}+i\sin \frac{2\pi}{k}

$$

であるから、ド・モアブルの定理より、任意の整数 $r$ に対して

$$ z^r=\cos \frac{2\pi r}{k}+i\sin \frac{2\pi r}{k}

$$

である。

したがって、$z^r=1$ であることは

$$ \cos \frac{2\pi r}{k}=1,\qquad \sin \frac{2\pi r}{k}=0

$$

であることと同値である。これは

$$ \frac{2\pi r}{k}=2\pi q

$$

を満たす整数 $q$ が存在することと同値である。よって

$$ r=kq

$$

となるから、

$$ z^r=1 \Longleftrightarrow k \mid r

$$

が成り立つ。

**(1)**

$m,n$ を整数とする。まず、$m-n$ が $k$ の倍数であるとする。このとき $m-n=kq$ となる整数 $q$ が存在するので、

$$ z^{m-n}=z^{kq}=(z^k)^q=1

$$

である。したがって

$$ z^m=z^n z^{m-n}=z^n

$$

となる。

逆に、$z^m=z^n$ とする。このとき

$$ z^{m-n}=1

$$

である。先に示した事実より、

$$ k \mid (m-n)

$$

である。

以上より、$m-n$ が $k$ の倍数であることは、$z^m=z^n$ となるための必要十分条件である。

**(2)**

$\ell$ と $k$ が互いに素であるとする。

$z^\ell,z^{2\ell},z^{3\ell},\ldots,z^{k\ell}$ の中に等しいものがあると仮定する。すなわち、$1\leqq a<b\leqq k$ を満たす整数 $a,b$ について

$$ z^{a\ell}=z^{b\ell}

$$

であるとする。

(1)より、

$$ k \mid (b\ell-a\ell)

$$

すなわち

$$ k \mid (b-a)\ell

$$

である。

ここで、$\ell$ と $k$ は互いに素であるから、ユークリッドの補題より

$$ k \mid (b-a)

$$

となる。

しかし、$1\leqq a<b\leqq k$ であるから

$$ 1\leqq b-a\leqq k-1

$$

である。これは $b-a$ が $k$ の倍数であることに反する。

したがって、異なる $a,b$ に対して $z^{a\ell}=z^{b\ell}$ となることはない。よって

$$ z^\ell,z^{2\ell},z^{3\ell},\ldots,z^{k\ell}

$$

はすべて異なる。

**(3)**

対偶を示す。

$k$ と $\ell$ が互いに素でないとする。このとき

$$ d=\gcd(k,\ell)>1

$$

とおける。

$k=dK,\ \ell=dL$ とおくと、$K,L$ は自然数であり、

$$ \frac{k}{d}=K

$$

である。

ここで、$d>1$ より

$$ 1+\frac{k}{d}\leqq 1+\frac{k}{2}\leqq k

$$

が成り立つ。したがって、$1$ と $1+\frac{k}{d}$ はともに $1$ 以上 $k$ 以下の異なる整数である。

この2つに対応する指数を比べると、

$$ \begin{aligned} \left(1+\frac{k}{d}\right)\ell-\ell &= \frac{k}{d}\ell\\ &= \frac{k}{d}\cdot dL\\ &= kL \end{aligned} $$

である。よって、この差は $k$ の倍数である。

(1)より、

$$ z^{\left(1+\frac{k}{d}\right)\ell}=z^\ell

$$

となる。

つまり、$z^\ell,z^{2\ell},z^{3\ell},\ldots,z^{k\ell}$ の中に等しいものが存在する。したがって、これらがすべて異なるならば、$k$ と $\ell$ は互いに素でなければならない。

以上より、$z^\ell,z^{2\ell},z^{3\ell},\ldots,z^{k\ell}$ がすべて異なるとき、$k$ と $\ell$ は互いに素である。

解説

この問題の中心は、$z$ が $1$ の $k$ 乗根であり、指数は $k$ を法として同じものを与えるという点である。

つまり、

$$ z^m=z^n

$$

となるかどうかは、指数 $m,n$ そのものではなく、差 $m-n$ が $k$ の倍数であるかどうかで決まる。

(2)では、$\ell$ と $k$ が互いに素であるため、$k\mid (b-a)\ell$ から $k\mid (b-a)$ と言えることが重要である。

(3)では、互いに素でない場合に、実際に等しくなる2つを作る。$\gcd(k,\ell)=d>1$ とすると、指数の差を $\frac{k}{d}\ell$ にすれば、これは必ず $k$ の倍数になる。これにより、異なる項なのに同じ複素数になることを示せる。

答え

**(1)**

$m-n$ が $k$ の倍数であることは、$z^m=z^n$ となるための必要十分条件である。

**(2)**

$\ell$ と $k$ が互いに素ならば、

$$ z^\ell,z^{2\ell},z^{3\ell},\ldots,z^{k\ell}

$$

はすべて異なる。

**(3)**

$$ z^\ell,z^{2\ell},z^{3\ell},\ldots,z^{k\ell}

$$

がすべて異なるならば、$k$ と $\ell$ は互いに素である。