解説

方針・初手

整数解の存在は、最大公約数と深く関係する。前半の具体例では、ユークリッドの互除法を使って $px+qy=1$ の形を作る。

後半では

$$ \zeta_n=\cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}

$$

とおくと、$X_n={\zeta_n^k\mid k\in\mathbb{Z}}$ と表せる。特に

$$ \zeta_{pq}^p=\zeta_q,\qquad \zeta_{pq}^q=\zeta_p

$$

を用いるのが要点である。

解法1

**(1)**

$p=7,\ q=11$ のとき、求める式は

$$ 7x+11y=1

$$

である。

ユークリッドの互除法により、

$$ 11=7\cdot 1+4

$$

$$ 7=4\cdot 1+3

$$

$$ 4=3\cdot 1+1

$$

である。これを逆にたどると、

$$ 1=4-3

$$

$$ =4-(7-4)

$$

$$ =2\cdot 4-7

$$

$$ =2(11-7)-7

$$

$$ =2\cdot 11-3\cdot 7

$$

となる。

したがって

$$ 7(-3)+11(2)=1

$$

であるから、整数解の一つは

$$ x=-3,\qquad y=2

$$

である。

**(2)**

$p=6,\ q=9$ のとき、求める式は

$$ 6x+9y=1

$$

である。

左辺は

$$ 6x+9y=3(2x+3y)

$$

と表せるので、どのような整数 $x,y$ に対しても $3$ の倍数である。

しかし右辺の $1$ は $3$ の倍数ではない。したがって、

$$ 6x+9y=1

$$

を満たす整数 $x,y$ の組は存在しない。

**(3)**

$$ \zeta_n=\cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}

$$

とおく。このとき

$$ X_n={\zeta_n^k\mid k\in\mathbb{Z}}

$$

である。

いま、整数 $x,y$ が存在して

$$ px+qy=1

$$

を満たすと仮定する。

$X_{pq}$ に属する任意の数をとると、それはある整数 $m$ を用いて

$$ \zeta_{pq}^m

$$

と表せる。

仮定 $px+qy=1$ の両辺を $m$ 倍すると、

$$ pmx+qmy=m

$$

である。したがって

$$ \zeta_{pq}^m=\zeta_{pq}^{pmx+qmy}

$$

となる。

指数法則より、

$$ \zeta_{pq}^{pmx+qmy} = \zeta_{pq}^{pmx}\zeta_{pq}^{qmy}

$$

である。

ここで

$$ \begin{aligned} \zeta_{pq}^p &= \cos\frac{2\pi}{q}+i\sin\frac{2\pi}{q}\\ &= \zeta_q \end{aligned} $$

かつ

$$ \begin{aligned} \zeta_{pq}^q &= \cos\frac{2\pi}{p}+i\sin\frac{2\pi}{p}\\ &= \zeta_p \end{aligned} $$

であるから、

$$ \zeta_{pq}^{pmx}=(\zeta_{pq}^p)^{mx}=\zeta_q^{mx}

$$

$$ \zeta_{pq}^{qmy}=(\zeta_{pq}^q)^{my}=\zeta_p^{my}

$$

となる。

よって

$$ \zeta_{pq}^m=\zeta_q^{mx}\zeta_p^{my}

$$

である。

ここで $\zeta_q^{mx}\in X_q$、$\zeta_p^{my}\in X_p$ である。したがって、$\zeta_{pq}^m$ は $X_p$ に属する数と $X_q$ に属する数の積で表される。

$m$ は任意であったから、$X_{pq}$ に属するすべての数は、$X_p$ に属する数と $X_q$ に属する数の積で表される。

**(4)**

$$ \zeta_n=\cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}

$$

とおく。

問題の仮定より、$\zeta_{pq}$ が $X_p$ に属する数と $X_q$ に属する数の積で表される。したがって、ある整数 $a,b$ が存在して

$$ \zeta_{pq}=\zeta_p^a\zeta_q^b

$$

と表せる。

すなわち、

$$ \cos\frac{2\pi}{pq}+i\sin\frac{2\pi}{pq} = \left(\cos\frac{2\pi}{p}+i\sin\frac{2\pi}{p}\right)^a \left(\cos\frac{2\pi}{q}+i\sin\frac{2\pi}{q}\right)^b

$$

である。

ド・モアブルの定理より、右辺は

$$ \cos\left(2\pi\left(\frac{a}{p}+\frac{b}{q}\right)\right) +i\sin\left(2\pi\left(\frac{a}{p}+\frac{b}{q}\right)\right)

$$

である。

したがって、偏角は $2\pi$ の整数倍の差を除いて等しいので、ある整数 $t$ が存在して

$$ \frac{1}{pq}=\frac{a}{p}+\frac{b}{q}+t

$$

が成り立つ。

両辺に $pq$ をかけると、

$$ 1=aq+bp+tpq

$$

である。これを

$$ 1=bp+q(a+tp)

$$

と書き直すと、$1$ が $p$ と $q$ の整数係数の一次結合で表されている。

ここで $d$ を $p$ と $q$ の最大公約数とする。$d$ は $p$ も $q$ も割り切るから、任意の整数 $u,v$ に対して $pu+qv$ も割り切る。特に

$$ 1=bp+q(a+tp)

$$

も $d$ で割り切られる。

したがって $d=1$ である。よって、$p$ と $q$ は互いに素である。

解説

この問題の中心は、整数方程式

$$ px+qy=1

$$

と、複素数の $n$ 乗根の集合 $X_n$ の関係である。

整数方程式 $px+qy=1$ が解をもつことは、$p$ と $q$ の最大公約数が $1$ であることと対応している。ただし、問題ではこの事実を直接使うだけでなく、複素数の積の形に変換することが要求されている。

(3) では、$px+qy=1$ を $m$ 倍して

$$ m=pmx+qmy

$$

とすることで、$\zeta_{pq}^m$ の指数を $p$ の倍数部分と $q$ の倍数部分に分解する。すると、それぞれが $X_q$、$X_p$ の元になる。

(4) では逆に、$\zeta_{pq}$ が $X_p$ の元と $X_q$ の元の積で表されると仮定し、偏角を比較することで

$$ 1=bp+q(a+tp)

$$

という整数係数の一次結合を得る。これにより、$p$ と $q$ の最大公約数が $1$ であることが従う。

答え

**(1)**

整数解の一つは

$$ x=-3,\qquad y=2

$$

である。

**(2)**

$$ 6x+9y=3(2x+3y)

$$

より左辺は常に $3$ の倍数であるが、右辺 $1$ は $3$ の倍数ではない。したがって整数解は存在しない。

**(3)**

$px+qy=1$ を満たす整数 $x,y$ が存在するとき、任意の $\zeta_{pq}^m\in X_{pq}$ について

$$ \zeta_{pq}^m=\zeta_q^{mx}\zeta_p^{my}

$$

と表せる。したがって、$X_{pq}$ に属するすべての数は、$X_p$ に属する数と $X_q$ に属する数の積で表される。

**(4)**

$\zeta_{pq}$ が $X_p$ の元と $X_q$ の元の積で表されるなら、ある整数 $a,b,t$ により

$$ 1=aq+bp+tpq

$$

が成り立つ。よって $1$ は $p$ と $q$ の整数係数の一次結合で表されるので、$p$ と $q$ は互いに素である。