解説

方針・初手

$z^2$ をひとまとまりに見る。与えられた方程式は $z^2$ についての2次方程式であり、その根が5乗して $1$ になる複素数であることを示せば、$z^{10}=1$ が従う。

その後、$z+z^3+z^5+z^7+z^9$ は初項 $z$、公比 $z^2$ の等比数列の和として処理する。

解法1

$w=z^2$ とおくと、与えられた方程式は

$$ 2w^2+(1-\sqrt{5})w+2=0

$$

である。両辺を $2$ で割ると、

$$ w^2-\frac{\sqrt{5}-1}{2}w+1=0

$$

となる。

この2次方程式の2つの根を $\alpha,\beta$ とすると、解と係数の関係より

$$ \alpha+\beta=\frac{\sqrt{5}-1}{2},\qquad \alpha\beta=1

$$

である。

一方、5乗根の性質から、$1$ でない5乗根 $\omega$ について

$$ 1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4=0

$$

が成り立つ。ここで $\omega+\omega^4$ と $\omega^2+\omega^3$ を分けて考える。

$\omega=e^{2\pi i/5}$ とすると、$\omega^4=\omega^{-1}$ であるから

$$ \omega+\omega^4=2\cos\frac{2\pi}{5}

$$

である。また

$$ 1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4=0

$$

より

$$ 1+2\cos\frac{2\pi}{5}+2\cos\frac{4\pi}{5}=0

$$

である。

$\cos\frac{4\pi}{5}=-\cos\frac{\pi}{5}$ であるから、

$$ 1+2\cos\frac{2\pi}{5}-2\cos\frac{\pi}{5}=0

$$

が成り立つ。さらに後で示すように

$$ \cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5}=\frac14

$$

であることと合わせれば、

$$ 2\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{\sqrt5-1}{2}

$$

となる。

したがって、$w=z^2$ は

$$ w^2-\frac{\sqrt{5}-1}{2}w+1=0

$$

を満たすので、$w$ は

$$ e^{2\pi i/5},\ e^{-2\pi i/5}

$$

のいずれかである。よって

$$ w^5=1

$$

である。

$w=z^2$ であったから、

$$ (z^2)^5=1

$$

すなわち

$$ z^{10}=1

$$

である。これで (1) が示された。

次に (2) を求める。求める和を $S$ とおくと、

$$ S=z+z^3+z^5+z^7+z^9

$$

である。これは

$$ S=z(1+z^2+z^4+z^6+z^8)

$$

と書ける。

ここで $w=z^2$ とおくと、上で見たように $w^5=1$ である。また、$w=1$ だとすると、もとの方程式に代入して

$$ 2+(1-\sqrt5)+2=5-\sqrt5\neq 0

$$

となり矛盾する。したがって

$$ w\neq 1

$$

である。

よって、等比数列の和より

$$ 1+w+w^2+w^3+w^4=\frac{w^5-1}{w-1}=0

$$

である。したがって

$$ S=z(1+w+w^2+w^3+w^4)=0

$$

となる。

よって

$$ z+z^3+z^5+z^7+z^9=0

$$

である。

最後に (3) を示す。

5乗根の和

$$ 1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4=0

$$

において、$\omega=e^{2\pi i/5}$ とする。両辺の実部をとると、

$$ 1+\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5} +\cos\frac{6\pi}{5}+\cos\frac{8\pi}{5}=0

$$

である。

ここで

$$ \cos\frac{6\pi}{5}=\cos\frac{4\pi}{5},\qquad \cos\frac{8\pi}{5}=\cos\frac{2\pi}{5}

$$

より、

$$ 1+2\cos\frac{2\pi}{5}+2\cos\frac{4\pi}{5}=0

$$

となる。さらに

$$ \cos\frac{4\pi}{5}=-\cos\frac{\pi}{5}

$$

だから、

$$ 1+2\cos\frac{2\pi}{5}-2\cos\frac{\pi}{5}=0

$$

である。したがって

$$ \cos\frac{\pi}{5}-\cos\frac{2\pi}{5}=\frac12

$$

を得る。

一方、積和公式より

$$ \cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5} = \frac12\left( \cos\frac{3\pi}{5}+\cos\left(-\frac{\pi}{5}\right) \right)

$$

である。ここで

$$ \cos\frac{3\pi}{5}=-\cos\frac{2\pi}{5},\qquad \cos\left(-\frac{\pi}{5}\right)=\cos\frac{\pi}{5}

$$

であるから、

$$ \cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5} = \frac12\left( \cos\frac{\pi}{5}-\cos\frac{2\pi}{5} \right)

$$

となる。上で得た

$$ \cos\frac{\pi}{5}-\cos\frac{2\pi}{5}=\frac12

$$

を代入して、

$$ \begin{aligned} \cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5} &= \frac12\cdot\frac12\\ &= \frac14 \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の中心は、$z$ を直接扱わず、$z^2$ を1つの文字として見ることである。与えられた4次方程式は $z^2$ についての2次方程式なので、$z^2$ が5乗根に関係していることを見抜くと、$z^{10}=1$ が自然に出る。

また、$z+z^3+z^5+z^7+z^9$ は、奇数乗だけを並べた和であるが、$z$ をくくると $z^2$ を公比とする等比数列になる。ここで $z^2\neq 1$ を確認しておくことが重要である。これを省くと、等比数列の和の公式を使う際の条件確認が抜ける。

三角関数の等式は、5乗根の和の実部を取ることで導くのが自然である。$\cos\frac{\pi}{5}$ と $\cos\frac{2\pi}{5}$ の差を先に求め、積和公式で積に変換するのが簡潔である。

答え

**(1)**

$$ z^{10}=1

$$

が成り立つ。

**(2)**

$$ z+z^3+z^5+z^7+z^9=0

$$

**(3)**

$$ \cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5}=\frac14

$$