解説

方針・初手

$AP$ と $BC$ の交点を $Q$ とする。まず $Q$ が $BC$ を内分する条件から $\overrightarrow{AQ}$ を表す。次に、円の2つの弦 $AP,BC$ が点 $Q$ で交わるので、方べきの定理を用いて $AQ$ と $AP$ の長さの比を求める。

解法1

$AP$ と $BC$ の交点を $Q$ とする。$Q$ は $BC$ を $p:1-p$ の比に内分するので、

$$ BQ:QC=p:1-p

$$

である。したがって、内分点の公式より

$$ \overrightarrow{AQ}=(1-p)\overrightarrow{AB}+p\overrightarrow{AC}

$$

となる。

ここで、正三角形 $ABC$ の一辺の長さを $a$ とする。$BQ=pa$ であり、$\angle ABQ=60^\circ$ であるから、三角形 $ABQ$ に余弦定理を用いると、

$$ \begin{aligned} AQ^2 &=AB^2+BQ^2-2\cdot AB\cdot BQ\cos 60^\circ \\ &=a^2+p^2a^2-2\cdot a\cdot pa\cdot \frac12 \\ &=a^2(1-p+p^2) \end{aligned}

$$

である。

また、四角形 $ABPC$ は円に内接し、弦 $AP$ と弦 $BC$ が $Q$ で交わるので、方べきの定理より

$$ QA\cdot QP=QB\cdot QC

$$

である。ここで

$$ QB=pa,\qquad QC=(1-p)a

$$

だから、

$$ QA\cdot QP=p(1-p)a^2

$$

となる。よって

$$ \frac{QP}{QA} = \frac{p(1-p)a^2}{AQ^2} =\frac{p(1-p)}{1-p+p^2}

$$

である。

したがって、

$$ \frac{AP}{AQ} = \frac{AQ+QP}{AQ} =1+\frac{QP}{QA} =1+\frac{p(1-p)}{1-p+p^2}

$$

となる。整理すると、

$$ \frac{AP}{AQ} = \frac{1-p+p^2+p-p^2}{1-p+p^2} =\frac{1}{1-p+p^2}

$$

である。

$A,Q,P$ は一直線上にあり、$Q$ は線分 $AP$ 上にあるので、ベクトルの向きは同じである。よって

$$ \overrightarrow{AP} = \frac{1}{1-p+p^2}\overrightarrow{AQ}

$$

である。先ほど求めた $\overrightarrow{AQ}$ を代入して、

$$ \overrightarrow{AP} = \frac{(1-p)\overrightarrow{AB}+p\overrightarrow{AC}}{1-p+p^2}

$$

となる。

解説

この問題では、交点 $Q$ を置いてから、まず内分点の公式で $\overrightarrow{AQ}$ を表すのが自然である。

その後、$P$ の位置を直接座標で求めるのではなく、円に内接している条件を方べきの定理として使うのが重要である。弦 $AP$ と弦 $BC$ が交わるため、

$$ QA\cdot QP=QB\cdot QC

$$

が使える。これにより、$AQ$ に対して $AP$ が何倍かを求められる。

また、$ABC$ が正三角形であることは、$AQ^2$ を

$$ AQ^2=a^2(1-p+p^2)

$$

と計算する部分で効いている。

答え

$$ \boxed{ \overrightarrow{AP} = \frac{(1-p)\overrightarrow{AB}+p\overrightarrow{AC}}{1-p+p^2} }

$$