解説

方針・初手

点 $D,P,Q$ を $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ を基底とする位置ベクトルで表す。特に $Q$ は直線 $PD$ 上にあり、同時に辺 $BC$ 上にあるので、2通りに表して係数を比較すればよい。

解法1

$\overrightarrow{AB}=\mathbf{b},\ \overrightarrow{AC}=\mathbf{c}$ とおく。

点 $D$ は辺 $AB$ を $k:1$ に外分するから、

$$ \overrightarrow{AD}=\frac{k}{k-1}\mathbf{b}

$$

である。

また、点 $P$ は辺 $AC$ を $x:1$ に内分するから、

$$ \overrightarrow{AP}=\frac{x}{x+1}\mathbf{c}

$$

である。

**(1)**

点 $Q$ は辺 $BC$ 上にあるので、ある実数 $s$ を用いて

$$ \overrightarrow{AQ}=(1-s)\mathbf{b}+s\mathbf{c}

$$

と表せる。

一方、点 $Q$ は線分 $PD$ 上にもあるので、ある実数 $u$ を用いて

$$ \overrightarrow{AQ}=u\overrightarrow{AD}+(1-u)\overrightarrow{AP}

$$

と表せる。これに $\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AP}$ を代入すると、

$$ \overrightarrow{AQ}=\frac{uk}{k-1}\mathbf{b}+\frac{(1-u)x}{x+1}\mathbf{c}

$$

である。したがって係数比較より、

$$ 1-s=\frac{uk}{k-1},\qquad s=\frac{(1-u)x}{x+1}

$$

を得る。

第1式から

$$ u=\frac{(1-s)(k-1)}{k}

$$

である。これを第2式に代入すると、

$$ s=\frac{x}{x+1}\left\{1-\frac{(1-s)(k-1)}{k}\right\}

$$

となる。括弧の中を整理して、

$$ 1-\frac{(1-s)(k-1)}{k} =\frac{k-(k-1)(1-s)}{k} =\frac{1+(k-1)s}{k}

$$

であるから、

$$ s=\frac{x{1+(k-1)s}}{k(x+1)}

$$

となる。両辺に $k(x+1)$ をかけて整理すると、

$$ ks(x+1)=x+x(k-1)s

$$

より、

$$ ksx+ks=x+xks-xs

$$

である。両辺から $ksx$ を消すと、

$$ ks=x-xs

$$

すなわち

$$ s(k+x)=x

$$

である。よって、

$$ s=\frac{x}{k+x}

$$

を得る。したがって

$$ 1-s=1-\frac{x}{k+x}=\frac{k}{k+x}

$$

であるから、

$$ \overrightarrow{AQ} =\frac{k}{k+x}\overrightarrow{AB} +\frac{x}{k+x}\overrightarrow{AC}

$$

である。

**(2)**

面積比を求める。$\mathbf{b},\mathbf{c}$ を基底として、各点の座標を

$$ A=(0,0),\quad B=(1,0),\quad C=(0,1)

$$

と考える。

このとき

$$ P=\left(0,\frac{x}{x+1}\right),\qquad Q=\left(\frac{k}{k+x},\frac{x}{k+x}\right)

$$

である。

三角形 $PBQ$ の面積は、ベクトル $\overrightarrow{BP},\overrightarrow{BQ}$ の行列式の絶対値を用いて表せる。基準となる三角形 $ABC$ の面積も同じ基底で測れば、面積比は行列式の絶対値に等しい。

ここで

$$ \overrightarrow{BP} =\left(-1,\frac{x}{x+1}\right), \qquad \overrightarrow{BQ} =\left(\frac{k}{k+x}-1,\frac{x}{k+x}\right) =\left(-\frac{x}{k+x},\frac{x}{k+x}\right)

$$

である。よって、

$$ \begin{aligned} f(x) &=\left| \begin{vmatrix} -1 & -\dfrac{x}{k+x}\\ \dfrac{x}{x+1} & \dfrac{x}{k+x} \end{vmatrix} \right|\\ &=\left| -\frac{x}{k+x} +\frac{x^2}{(x+1)(k+x)} \right|\\ &=\left| -\frac{x}{(x+1)(k+x)} \right|\\ &=\frac{x}{(x+1)(x+k)} \end{aligned}

$$

である。

したがって、

$$ f(x)=\frac{x}{(x+1)(x+k)}

$$

である。

**(3)**

$x>0$ において $f(x)$ を最大にする $x$ を求める。

$$ f(x)=\frac{x}{(x+1)(x+k)} =\frac{x}{x^2+(k+1)x+k}

$$

である。微分すると、

$$ \begin{aligned} f'(x) &=\frac{x^2+(k+1)x+k-x{2x+(k+1)}}{{x^2+(k+1)x+k}^2}\\ &=\frac{k-x^2}{{x^2+(k+1)x+k}^2} \end{aligned}

$$

となる。

分母は常に正であるから、$f'(x)$ の符号は $k-x^2$ の符号で決まる。$k>1$ より $\sqrt{k}>0$ であり、

$$ f'(x)>0\quad (0<x<\sqrt{k}),\qquad f'(x)<0\quad (x>\sqrt{k})

$$

である。

したがって $f(x)$ は $x=\sqrt{k}$ で最大となる。

解説

外分点 $D$ が出るため複雑に見えるが、$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ を基底にして全点を座標化すると処理は直線の交点計算になる。

特に重要なのは、$Q$ を「辺 $BC$ 上の点」と「線分 $PD$ 上の点」の2通りに表すことである。これにより $Q$ の位置が

$$ \overrightarrow{AQ} =\frac{k}{k+x}\overrightarrow{AB} +\frac{x}{k+x}\overrightarrow{AC}

$$

と簡潔に求まる。

面積比は、同じ基底で見れば行列式の絶対値で求められる。最後の最大値問題は

$$ f(x)=\frac{x}{(x+1)(x+k)}

$$

を微分すればよい。分母が常に正であるため、符号判定は $k-x^2$ だけを見れば足りる。

答え

**(1)**

$$ \overrightarrow{AQ} =\frac{k}{k+x}\overrightarrow{AB} +\frac{x}{k+x}\overrightarrow{AC}

$$

**(2)**

$$ f(x)=\frac{x}{(x+1)(x+k)}

$$

**(3)**

$$ x=\sqrt{k}

$$