解説

方針・初手

点 $P,Q$ の位置を、$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ を基準にして表す。交点 $S$ は直線 $AP$ 上にも直線 $BQ$ 上にもあるので、2通りに表して係数を比較する。

解法1

$\overrightarrow{AB}=\mathbf{b},\ \overrightarrow{AC}=\mathbf{c}$ とおく。

$P$ は辺 $BC$ を $1:2$ に内分するので、$BP:PC=1:2$ である。したがって

$$ \overrightarrow{AP} = \frac{2\mathbf{b}+\mathbf{c}}{3} =\frac{2}{3}\mathbf{b}+\frac{1}{3}\mathbf{c}

$$

である。

よって

$$ \overrightarrow{AP} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}

$$

である。

次に、$Q$ は辺 $CA$ を $2:3$ に内分するので、$CQ:QA=2:3$ である。したがって

$$ \overrightarrow{AQ} = \frac{3}{5}\mathbf{c}

$$

となる。

点 $S$ は直線 $AP$ 上にあるから、ある実数 $t$ を用いて

$$ \overrightarrow{AS} = t\overrightarrow{AP} =t\left(\frac{2}{3}\mathbf{b}+\frac{1}{3}\mathbf{c}\right)

$$

と表せる。

一方、点 $S$ は直線 $BQ$ 上にもある。よって、ある実数 $u$ を用いて

$$ \overrightarrow{AS} = \overrightarrow{AB}+u\overrightarrow{BQ}

$$

と表せる。ここで

$$ \overrightarrow{BQ} = \overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AB} =\frac{3}{5}\mathbf{c}-\mathbf{b}

$$

であるから、

$$ \overrightarrow{AS} = \mathbf{b} + u\left(\frac{3}{5}\mathbf{c}-\mathbf{b}\right) = (1-u)\mathbf{b} + \frac{3u}{5}\mathbf{c}

$$

となる。

したがって

$$ t\left(\frac{2}{3}\mathbf{b}+\frac{1}{3}\mathbf{c}\right) = (1-u)\mathbf{b} + \frac{3u}{5}\mathbf{c}

$$

である。$\mathbf{b},\mathbf{c}$ の係数を比較すると、

$$ \begin{cases} \frac{2}{3}t=1-u \\ \frac{1}{3}t=\frac{3}{5}u \end{cases}

$$

となる。第2式より

$$ u=\frac{5}{9}t

$$

である。これを第1式に代入すると、

$$ \frac{2}{3}t=1-\frac{5}{9}t

$$

より

$$ 6t=9-5t

$$

したがって

$$ t=\frac{9}{11}

$$

である。

よって

$$ \overrightarrow{AS} = \frac{9}{11}\overrightarrow{AP} =\frac{9}{11} \left( \frac{2}{3}\mathbf{b}+\frac{1}{3}\mathbf{c} \right) =\frac{6}{11}\mathbf{b}+\frac{3}{11}\mathbf{c}

$$

となる。

したがって

$$ \overrightarrow{AS} = \frac{6}{11}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{11}\overrightarrow{AC}

$$

である。

最後に、直線 $CS$ と辺 $AB$ の交点を $R$ とする。点 $R$ は直線 $CS$ 上にあるので、ある実数 $v$ を用いて

$$ \overrightarrow{AR} = \overrightarrow{AC} + v\overrightarrow{CS}

$$

と表せる。

ここで

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{CS} &= \overrightarrow{AS}-\overrightarrow{AC}\\ &= \frac{6}{11}\mathbf{b}+\frac{3}{11}\mathbf{c}-\mathbf{c}\\ &= \frac{6}{11}\mathbf{b}-\frac{8}{11}\mathbf{c} \end{aligned} $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AR} &= \mathbf{c}+v\overrightarrow{CS}\\ &= \mathbf{c} + v\left(\frac{6}{11}\mathbf{b}-\frac{8}{11}\mathbf{c}\right)\\ &= \frac{6v}{11}\mathbf{b} + \left(1-\frac{8v}{11}\right)\mathbf{c} \end{aligned} $$

となる。

点 $R$ は辺 $AB$ 上にあるから、$\mathbf{c}$ の係数は $0$ でなければならない。よって

$$ 1-\frac{8v}{11}=0

$$

より

$$ v=\frac{11}{8}

$$

である。このとき

$$ \overrightarrow{AR} = \frac{6}{11}\cdot \frac{11}{8}\mathbf{b} =\frac{3}{4}\mathbf{b}

$$

となる。

したがって

$$ AR:RB=\frac{3}{4}:\frac{1}{4}=3:1

$$

である。

解説

この問題では、内分点を位置ベクトルで表し、交点を2通りに表して係数比較するのが基本方針である。

特に注意すべき点は、$Q$ が「辺 $CA$ を $2:3$ に内分する」と書かれていることである。この場合、$CQ:QA=2:3$ であり、$\overrightarrow{AQ}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}$ となる。

また、$R$ を求めるときは、直線 $CS$ 上の点を表してから「$R$ は辺 $AB$ 上にあるので、$\overrightarrow{AC}$ の係数が $0$ になる」と考えるとよい。

答え

**(1)**

$$ \overrightarrow{AP} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}

$$

**(2)**

$$ \overrightarrow{AS} = \frac{6}{11}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{11}\overrightarrow{AC}

$$

**(3)**

$$ AR:RB=3:1

$$