解説

方針・初手

長方形なので、$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OC}$ を基底として用いる。特に

$$ \overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OC},\qquad |\overrightarrow{OA}|=3,\qquad |\overrightarrow{OC}|=2

$$

であるから、内積を計算すれば垂直性を示せる。

解法1

$\overrightarrow{OA}=\mathbf a,\ \overrightarrow{OC}=\mathbf c$ とおく。このとき

$$ |\mathbf a|=3,\qquad |\mathbf c|=2,\qquad \mathbf a\cdot \mathbf c=0

$$

である。

また、$\overrightarrow{OB}=\mathbf a+\mathbf c$ である。

(1)

$AP=x$ とおく。条件 $AP:OQ=2:3$ より、

$$ OQ=\frac{3}{2}x

$$

である。

点 $P$ は辺 $OA$ 上にあり、$OA=3$ だから

$$ OP=OA-AP=3-x

$$

である。したがって

$$ \overrightarrow{OP}=\frac{3-x}{3}\mathbf a =\left(1-\frac{x}{3}\right)\mathbf a

$$

である。

また、点 $Q$ は辺 $OC$ 上にあり、$OC=2$ だから

$$ \overrightarrow{OQ} =\frac{OQ}{OC}\mathbf c =\frac{\frac{3}{2}x}{2}\mathbf c =\frac{3x}{4}\mathbf c

$$

である。

よって

$$ \overrightarrow{BP} =\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB} =\left(1-\frac{x}{3}\right)\mathbf a-(\mathbf a+\mathbf c) =-\frac{x}{3}\mathbf a-\mathbf c

$$

であり、

$$ \overrightarrow{AQ} =\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OA} =\frac{3x}{4}\mathbf c-\mathbf a =-\mathbf a+\frac{3x}{4}\mathbf c

$$

である。

ここで内積を計算すると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{AQ} &=\left(-\frac{x}{3}\mathbf a-\mathbf c\right)\cdot \left(-\mathbf a+\frac{3x}{4}\mathbf c\right)\\ &=\frac{x}{3}|\mathbf a|^2-\frac{3x}{4}|\mathbf c|^2\\ &=\frac{x}{3}\cdot 9-\frac{3x}{4}\cdot 4\\ &=3x-3x\\ &=0. \end{aligned}

$$

したがって、

$$ \overrightarrow{BP}\perp \overrightarrow{AQ}

$$

である。

(2)

$AP=1$ とする。条件 $AP:OQ=2:3$ より、

$$ OQ=\frac{3}{2}

$$

である。

したがって

$$ OP=OA-AP=3-1=2

$$

だから

$$ \overrightarrow{OP}=\frac{2}{3}\mathbf a

$$

である。また、

$$ \overrightarrow{OQ} =\frac{\frac{3}{2}}{2}\mathbf c =\frac{3}{4}\mathbf c

$$

である。

点 $H$ は直線 $AQ$ 上にあるので、実数 $s$ を用いて

$$ \overrightarrow{OH} =\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{AQ} =\mathbf a+s\left(-\mathbf a+\frac{3}{4}\mathbf c\right) =(1-s)\mathbf a+\frac{3s}{4}\mathbf c

$$

と表せる。

一方、点 $H$ は直線 $BP$ 上にもあるので、実数 $t$ を用いて

$$ \overrightarrow{OH} =\overrightarrow{OB}+t\overrightarrow{BP} =(\mathbf a+\mathbf c)+t\left(\frac{2}{3}\mathbf a-(\mathbf a+\mathbf c)\right)

$$

である。整理すると、

$$ \overrightarrow{OH} =\left(1-\frac{t}{3}\right)\mathbf a+(1-t)\mathbf c

$$

である。

同じ点 $H$ を表しているので、$\mathbf a,\mathbf c$ の係数を比較する。

$$ \begin{cases} 1-s=1-\dfrac{t}{3}\\ \dfrac{3s}{4}=1-t \end{cases}

$$

第1式より

$$ s=\frac{t}{3}

$$

である。これを第2式に代入すると、

$$ \frac{3}{4}\cdot \frac{t}{3}=1-t

$$

すなわち

$$ \frac{t}{4}=1-t

$$

である。よって

$$ 5t=4

$$

となり、

$$ t=\frac{4}{5}

$$

である。したがって

$$ s=\frac{t}{3}=\frac{4}{15}

$$

である。

これを

$$ \overrightarrow{OH}=(1-s)\mathbf a+\frac{3s}{4}\mathbf c

$$

に代入すると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OH} &=\left(1-\frac{4}{15}\right)\mathbf a +\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{15}\mathbf c\\ &=\frac{11}{15}\mathbf a+\frac{1}{5}\mathbf c. \end{aligned}

$$

したがって、

$$ \overrightarrow{OH} =\frac{11}{15}\overrightarrow{OA} +\frac{1}{5}\overrightarrow{OC}

$$

である。

解説

長方形の問題では、隣り合う2辺を基底としてベクトルを表すと扱いやすい。この問題では $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OC}$ が直交しているため、垂直の証明は内積が $0$ になることを示せばよい。

(1) では $AP=x$ とおくことで、$P,Q$ の位置をともに $x$ で表せる。条件 $AP:OQ=2:3$ をそのまま利用し、$\overrightarrow{BP}$ と $\overrightarrow{AQ}$ の内積を計算するのが最も自然である。

(2) では $H$ が直線 $AQ$ と直線 $BP$ の交点であることを使い、両方の直線上の点として $\overrightarrow{OH}$ を表す。係数比較によって交点の位置が決まる。

答え

**(1)**

$$ \overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{AQ}=0

$$

より、

$$ \overrightarrow{BP}\perp \overrightarrow{AQ}

$$

である。

**(2)**

$$ \overrightarrow{OH} =\frac{11}{15}\overrightarrow{OA} +\frac{1}{5}\overrightarrow{OC}

$$