解説

方針・初手

点 $P,Q$ がそれぞれ辺 $OA,OB$ 上を動くので、$\overrightarrow{OP}$ と $\overrightarrow{OQ}$ を $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ の実数倍で表す。与えられた内積条件は、ほぼ $P,Q$ の位置を表す係数の条件に直る。

ただし、$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0$ の場合は両辺をこの内積で割れないので、直交の場合を分けて扱う必要がある。

解法1

$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a},\ \overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$ とおく。

$P$ は辺 $OA$ の内部、$Q$ は辺 $OB$ の内部にあるから、

$$ \overrightarrow{OP}=s\mathbf{a},\qquad \overrightarrow{OQ}=t\mathbf{b}

$$

と表せる。ただし、

$$ 0<s<1,\qquad 0<t<1

$$

である。

与えられた条件は

$$ 2\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OB} +2\overrightarrow{OQ}\cdot\overrightarrow{OA} =3\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}

$$

であるから、

$$ 2s\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+2t\mathbf{b}\cdot\mathbf{a} =3\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}

$$

となる。内積の対称性より $\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}=\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$ であるから、

$$ (2s+2t-3)(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})=0

$$

である。

**(i)**

$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\ne0$ の場合

このとき、

$$ 2s+2t-3=0

$$

より、

$$ s+t=\frac{3}{2}

$$

である。

また $0<s<1,\ 0<t<1$ なので、

$$ \frac{1}{2}<s<1,\qquad t=\frac{3}{2}-s

$$

となる。

$\triangle OPQ$ の重心を $G$ とすると、

$$ \overrightarrow{OG} =\frac{\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}}{3} =\frac{s}{3}\mathbf{a}+\frac{t}{3}\mathbf{b}

$$

である。ここで

$$ x=\frac{s}{3},\qquad y=\frac{t}{3}

$$

とおけば、

$$ \overrightarrow{OG}=x\mathbf{a}+y\mathbf{b}

$$

かつ

$$ x+y=\frac{s+t}{3}=\frac{1}{2}

$$

である。また $\frac12<s<1$ より、

$$ \frac{1}{6}<x<\frac{1}{3}

$$

であり、同様に

$$ \frac{1}{6}<y<\frac{1}{3}

$$

である。

したがって、$G$ は

$$ \overrightarrow{OG}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}, \qquad x+y=\frac{1}{2}, \qquad \frac{1}{6}<x<\frac{1}{3}

$$

を満たす点である。

ここで、$M,N$ をそれぞれ $OA,OB$ の中点とする。線分 $MN$ 上の点は

$$ \overrightarrow{OX}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}, \qquad x+y=\frac{1}{2}

$$

と表される。よって $G$ は線分 $MN$ 上を動く。

さらに $x$ の範囲が $\frac16<x<\frac13$ であるから、$G$ は線分 $MN$ 全体ではなく、線分 $MN$ を三等分したときの中央の開線分上を動く。

具体的に、線分 $MN$ を三等分する2点を $U,V$ とし、

$$ \overrightarrow{OU} =\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{OB}, \qquad \overrightarrow{OV} =\frac{1}{6}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}

$$

とおくと、$G$ の動く範囲は線分 $UV$ から両端 $U,V$ を除いた部分である。

**(ii)**

$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$ の場合

このとき、与えられた条件は

$$ 0=0

$$

となり、$P,Q$ の位置に制限を与えない。

したがって、

$$ \overrightarrow{OG} =\frac{s}{3}\mathbf{a}+\frac{t}{3}\mathbf{b}, \qquad 0<s<1,\quad 0<t<1

$$

である。

すなわち、

$$ \overrightarrow{OG} =x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}, \qquad 0<x<\frac13,\quad 0<y<\frac13

$$

を満たす点全体である。

したがって、$OA$ 上に

$$ \overrightarrow{OA_1}=\frac13\overrightarrow{OA}

$$

となる点 $A_1$ を取り、$OB$ 上に

$$ \overrightarrow{OB_1}=\frac13\overrightarrow{OB}

$$

となる点 $B_1$ を取る。また

$$ \overrightarrow{OC}=\frac13\overrightarrow{OA}+\frac13\overrightarrow{OB}

$$

となる点 $C$ を取ると、$G$ の動く範囲は四角形 $OA_1CB_1$ の内部である。境界は含まない。

解説

この問題の中心は、点 $P,Q$ の位置を

$$ \overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA},\qquad \overrightarrow{OQ}=t\overrightarrow{OB}

$$

とおくことである。辺の内部にある条件は $0<s<1,\ 0<t<1$ に対応する。

内積条件は、$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}\ne0$ のとき $s+t=\frac32$ に簡約される。そこから重心

$$ \overrightarrow{OG} =\frac{s}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{t}{3}\overrightarrow{OB}

$$

を考えると、係数の和が $\frac12$ になるため、$G$ は $OA,OB$ の中点を結ぶ線分上にあることが分かる。

ただし $P,Q$ は両端を除く点なので、$s,t$ は $0,1$ を取れない。そのため、重心の範囲も端点を含まない開線分になる。この端点除外を落とすと答えが不正確になる。

答え

$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}\ne0$ のとき、$OA,OB$ の中点をそれぞれ $M,N$ とすると、$G$ の動く範囲は線分 $MN$ を三等分した中央の開線分である。

すなわち、線分 $MN$ を三等分する2点 $U,V$ を

$$ \overrightarrow{OU} =\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{OB}, \qquad \overrightarrow{OV} =\frac{1}{6}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}

$$

とすると、求める範囲は線分 $UV$ から両端を除いた部分である。

$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0$ のときは、条件は恒等的に成り立つので、$G$ の動く範囲は

$$ \overrightarrow{OG} =x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}, \qquad 0<x<\frac13,\quad 0<y<\frac13

$$

を満たす点全体、すなわち四角形 $OA_1CB_1$ の内部である。ただし

$$ \overrightarrow{OA_1}=\frac13\overrightarrow{OA}, \qquad \overrightarrow{OB_1}=\frac13\overrightarrow{OB}, \qquad \overrightarrow{OC} =\frac13\overrightarrow{OA}+\frac13\overrightarrow{OB}

$$

であり、境界は含まない。