解説

方針・初手

内積条件を座標で書き直す。点 $P$ を $P(x,y)$ とおくと、$\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB},\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ はすべて成分で表せる。まず条件から $P$ の軌跡を求め、その軌跡上で $|\overrightarrow{PA}|+|\overrightarrow{PB}|$ の最大・最小を調べる。

解法1

点 $P$ を $P(x,y)$ とおく。

このとき、

$$ \overrightarrow{PA}=(1-x,-y),\qquad \overrightarrow{PB}=(-1-x,-y)

$$

である。また、

$$ \overrightarrow{OA}=(1,0),\qquad \overrightarrow{OB}=(-1,0)

$$

だから、

$$ (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=(1,0)\cdot(-1,0)=-1

$$

である。

したがって、与えられた条件

$$ (\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB})+3(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=0

$$

は、

$$ (\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB})-3=0

$$

すなわち

$$ (\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB})=3

$$

となる。

ここで、

$$ \begin{aligned} (\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB}) &=(1-x)(-1-x)+(-y)(-y)\\ &=x^2-1+y^2 \end{aligned}

$$

であるから、

$$ x^2+y^2-1=3

$$

より、

$$ x^2+y^2=4

$$

を得る。

よって、点 $P$ の軌跡は原点 $O$ を中心とする半径 $2$ の円である。

次に、$|\overrightarrow{PA}|+|\overrightarrow{PB}|$ の最大値と最小値を求める。

$P$ は円 $x^2+y^2=4$ 上にあるので、

$$ |\overrightarrow{PA}|=\sqrt{(x-1)^2+y^2},\qquad |\overrightarrow{PB}|=\sqrt{(x+1)^2+y^2}

$$

である。

また $x^2+y^2=4$ を用いると、

$$ |\overrightarrow{PA}|=\sqrt{x^2+y^2-2x+1}=\sqrt{5-2x}

$$

$$ |\overrightarrow{PB}|=\sqrt{x^2+y^2+2x+1}=\sqrt{5+2x}

$$

となる。

ただし、円 $x^2+y^2=4$ 上では $-2\leqq x\leqq 2$ である。そこで

$$ S=|\overrightarrow{PA}|+|\overrightarrow{PB}|=\sqrt{5-2x}+\sqrt{5+2x}

$$

とおく。

$S>0$ であるから、$S^2$ の最大・最小を調べればよい。

$$ \begin{aligned} S^2 &=(5-2x)+(5+2x)+2\sqrt{(5-2x)(5+2x)}\\ &=10+2\sqrt{25-4x^2} \end{aligned}

$$

ここで $-2\leqq x\leqq 2$ だから、$x^2$ は $0\leqq x^2\leqq 4$ を動く。

したがって、$\sqrt{25-4x^2}$ は $x^2$ が最小のとき最大、$x^2$ が最大のとき最小である。

**(i)**

最大値

$x^2=0$、すなわち $x=0$ のとき、

$$ S^2=10+2\sqrt{25}=10+10=20

$$

より、

$$ S=2\sqrt{5}

$$

である。

このとき $x=0$ かつ $x^2+y^2=4$ より、$P=(0,2),(0,-2)$ である。

**(ii)**

最小値

$x^2=4$、すなわち $x=\pm2$ のとき、

$$ S^2=10+2\sqrt{25-16}=10+6=16

$$

より、

$$ S=4

$$

である。

このとき $P=(2,0),(-2,0)$ である。

解説

この問題の中心は、内積条件を座標で処理して軌跡を出すことである。

$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=-1$ であるため、条件は $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=3$ に変形される。ここで $P(x,y)$ とおくと、内積が $x^2+y^2-1$ となり、軌跡が円 $x^2+y^2=4$ と分かる。

後半は、円上の点から $A(1,0),B(-1,0)$ までの距離の和の最大・最小を求める問題である。$x^2+y^2=4$ を使って距離を $x$ だけの式に直すと、計算が単純になる。

答え

**(1)**

点 $P$ の軌跡は

$$ x^2+y^2=4

$$

すなわち、原点 $O$ を中心とする半径 $2$ の円である。

**(2)**

$$ |\overrightarrow{PA}|+|\overrightarrow{PB}|

$$

の最大値は

$$ 2\sqrt{5}

$$

最小値は

$$ 4

$$

である。