基礎問題集
数学C 平面ベクトル「平面ベクトル」の問題14 解説
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解説
方針・初手
内分点の位置をベクトルで表す。$A_2,B_2,C_2$ の位置ベクトルを求めたあと、辺ベクトル $\vec{A_2B_2},\vec{B_2C_2},\vec{C_2A_2}$ を計算し、それぞれが $\vec{AB},\vec{BC},\vec{CA}$ の定数倍になることを示す。
解法1
「線分 $XY$ を $2:1$ に内分する点 $P$」とは、$XP:PY=2:1$ であることを表すものとする。
任意の原点 $O$ をとり、
$$ \vec{OA}=\mathbf a,\qquad \vec{OB}=\mathbf b,\qquad \vec{OC}=\mathbf c
$$
とおく。
$A_1,B_1,C_1$ はそれぞれ $AB,BC,CA$ を $2:1$ に内分するから、
$$ \vec{OA_1}=\frac{\mathbf a+2\mathbf b}{3},\qquad \vec{OB_1}=\frac{\mathbf b+2\mathbf c}{3},\qquad \vec{OC_1}=\frac{\mathbf c+2\mathbf a}{3}
$$
である。
次に、$A_2$ は $A_1B_1$ を $2:1$ に内分するので、
$$ \begin{aligned} \vec{OA_2} &=\frac{\vec{OA_1}+2\vec{OB_1}}{3} \\ &=\frac{1}{3}\left(\frac{\mathbf a+2\mathbf b}{3}+2\cdot \frac{\mathbf b+2\mathbf c}{3}\right) \\ &=\frac{\mathbf a+4\mathbf b+4\mathbf c}{9}. \end{aligned}
$$
同様に、
$$ \begin{aligned} \vec{OB_2} &=\frac{\vec{OB_1}+2\vec{OC_1}}{3} \\ &=\frac{4\mathbf a+\mathbf b+4\mathbf c}{9}, \end{aligned}
$$
また、
$$ \begin{aligned} \vec{OC_2} &=\frac{\vec{OC_1}+2\vec{OA_1}}{3} \\ &=\frac{4\mathbf a+4\mathbf b+\mathbf c}{9}. \end{aligned}
$$
ここで、各辺ベクトルを計算する。
$$ \begin{aligned} \vec{A_2B_2} &=\vec{OB_2}-\vec{OA_2} \\ &=\frac{4\mathbf a+\mathbf b+4\mathbf c}{9} -\frac{\mathbf a+4\mathbf b+4\mathbf c}{9} \\ &=\frac{\mathbf a-\mathbf b}{3} \\ &=-\frac{1}{3}\vec{AB}. \end{aligned}
$$
同様に、
$$ \begin{aligned} \vec{B_2C_2} &=\vec{OC_2}-\vec{OB_2} \\ &=\frac{\mathbf b-\mathbf c}{3} \\ &=-\frac{1}{3}\vec{BC}, \end{aligned}
$$
また、
$$ \begin{aligned} \vec{C_2A_2} &=\vec{OA_2}-\vec{OC_2} \\ &=\frac{\mathbf c-\mathbf a}{3} \\ &=-\frac{1}{3}\vec{CA}. \end{aligned}
$$
したがって、
$$ A_2B_2=\frac{1}{3}AB,\qquad B_2C_2=\frac{1}{3}BC,\qquad C_2A_2=\frac{1}{3}CA
$$
である。
よって、対応する3辺の比がすべて等しいので、三辺相似により
$$ \triangle A_2B_2C_2 \sim \triangle ABC
$$
が成り立つ。
解説
この問題では、内分点を何度も作るため、角度を追うよりも位置ベクトルで処理するのが最も直接的である。
計算の結果、
$$ \vec{A_2B_2}=-\frac{1}{3}\vec{AB},\qquad \vec{B_2C_2}=-\frac{1}{3}\vec{BC},\qquad \vec{C_2A_2}=-\frac{1}{3}\vec{CA}
$$
となる。負号は向きが反対であることを表すだけで、長さの比には影響しない。したがって、$\triangle A_2B_2C_2$ の3辺は $\triangle ABC$ の対応する3辺のそれぞれ $\frac{1}{3}$ 倍である。
答え
$$ \triangle A_2B_2C_2 \sim \triangle ABC
$$
である。相似比は
$$ A_2B_2:AB=B_2C_2:BC=C_2A_2:CA=1:3
$$
である。