解説

方針・初手

短針と長針のなす角を $\theta$ とおく。点の座標は、$\theta$ の値だけで決まるので、まず $|\vec{a}+\vec{b}|$ と $\vec{a}\cdot\vec{b}$ を $\cos\theta$ で表す。

解法1

短針の長さは $1$、長針の長さは $2$ であるから、

$$ |\vec{a}|=1,\qquad |\vec{b}|=2

$$

である。短針と長針のなす角を $\theta$ とすると、内積は

$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta=2\cos\theta

$$

である。

また、

$$ |\vec{a}+\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}

$$

より、

$$ \begin{aligned} |\vec{a}+\vec{b}|^2 &= 1^2+2^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}\\ &= 5+2\vec{a}\cdot\vec{b} \end{aligned} $$

となる。

ここで、求める点の座標を

$$ (X,Y)=\left(|\vec{a}+\vec{b}|,\vec{a}\cdot\vec{b}\right)

$$

とおくと、

$$ X^2=5+2Y

$$

である。したがって、

$$ Y=\frac{X^2-5}{2}

$$

を得る。

次に $X$ の範囲を求める。$\theta$ が変化すると $\cos\theta$ は $-1$ から $1$ までのすべての値をとるので、

$$ X^2=5+4\cos\theta

$$

より、

$$ 1\leq X^2\leq 9

$$

である。さらに $X=|\vec{a}+\vec{b}|\geq 0$ だから、

$$ 1\leq X\leq 3

$$

となる。

よって、点 $(|\vec{a}+\vec{b}|,\vec{a}\cdot\vec{b})$ の動く範囲は

$$ Y=\frac{X^2-5}{2},\qquad 1\leq X\leq 3

$$

である。

これは頂点が $(0,-5/2)$ の放物線

$$ Y=\frac{1}{2}X^2-\frac{5}{2}

$$

のうち、$X$ 座標が $1$ 以上 $3$ 以下の部分である。

端点は、

$$ X=1\text{ のとき }Y=-2,\qquad X=3\text{ のとき }Y=2

$$

であるから、図示すると、点 $(1,-2)$ から点 $(3,2)$ までの放物線の弧になる。

解説

この問題では、時計そのものの時刻を直接扱う必要はない。短針と長針の相対的な角度 $\theta$ だけに注目すればよい。

重要なのは、$|\vec{a}+\vec{b}|$ と $\vec{a}\cdot\vec{b}$ がどちらも $\cos\theta$ で表されることである。そこで $\cos\theta$ を消去すると、座標平面上の関係式が得られる。

また、第1座標は $|\vec{a}+\vec{b}|$ であり、負にはならない。このため、放物線全体ではなく、$1\leq X\leq 3$ の部分だけが答えになる。

答え

点の動く範囲は、座標を $(X,Y)$ とすると

$$ Y=\frac{X^2-5}{2},\qquad 1\leq X\leq 3

$$

である。

図示すると、放物線 $Y=\dfrac{X^2-5}{2}$ のうち、端点 $(1,-2)$ と $(3,2)$ を含む部分である。