基礎問題集
数学C 平面ベクトル「平面ベクトル」の問題17 解説
数学Cの平面ベクトル「平面ベクトル」にある問題17の基礎問題と解説ページです。問題と保存済み解説を公開し、ログイン後はAI質問と学習履歴も利用できます。
MathGrAIl の基礎問題集にある公開問題ページです。ログイン前でも問題と保存済み解説を確認でき、ログイン後はAI質問と学習履歴の保存を利用できます。
- 基礎問題の問題画像と保存済み解説を公開
- ログイン後にAI質問で復習
- ログイン後に学習履歴を保存
解説
方針・初手
まずベクトルの条件を座標で書き下す。すると点 $P$ の軌跡は円になる。
次に、$\triangle PAC$ の面積は、底辺 $AC$ を固定したとき点 $P$ から直線 $AC$ までの距離に比例する。したがって、円周上の点から直線 $AC$ までの距離が最大になる点を求めればよい。
解法1
点 $P$ を $P(x,y)$ とする。
各ベクトルは
$$ \overrightarrow{OP}=(x,y),\quad \overrightarrow{OA}=(3,0),\quad \overrightarrow{OB}=(2,2),\quad \overrightarrow{OC}=(4,1)
$$
であるから、
$$ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} =(3,0)+(2,2)+(4,1)=(9,3)
$$
となる。
したがって、
$$ 3\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC} =(3x,3y)-(9,3) =(3x-9,3y-3)
$$
である。条件
$$ \left|3\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}\right|=3
$$
より、
$$ \sqrt{(3x-9)^2+(3y-3)^2}=3
$$
となる。両辺を $3$ で割ると、
$$ \sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2}=1
$$
であるから、求める方程式は
$$ (x-3)^2+(y-1)^2=1
$$
である。
次に、$\triangle PAC$ の面積を求める。点 $A(3,0)$、点 $C(4,1)$ より、
$$ \overrightarrow{AC}=(1,1),\quad \overrightarrow{AP}=(x-3,y)
$$
である。
よって、$\triangle PAC$ の面積 $S$ は
$$ S=\frac{1}{2}\left|\det \begin{pmatrix} x-3 & y\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \right|
$$
となる。したがって、
$$ S=\frac{1}{2}|(x-3)-y| =\frac{1}{2}|x-y-3|
$$
である。
ここで、点 $P$ は
$$ (x-3)^2+(y-1)^2=1
$$
上を動く。そこで
$$ u=x-3,\quad v=y-1
$$
とおくと、
$$ u^2+v^2=1
$$
であり、
$$ x-y-3=(u+3)-(v+1)-3=u-v-1
$$
となる。よって、面積を最大にするには
$$ |u-v-1|
$$
を最大にすればよい。
ここで、$u^2+v^2=1$ のもとで、コーシー・シュワルツの不等式より
$$ |u-v| \leqq \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{1^2+(-1)^2} =\sqrt{2}
$$
である。したがって、
$$ -\sqrt{2}\leqq u-v\leqq \sqrt{2}
$$
となる。
よって
$$ u-v-1
$$
の範囲は
$$ -1-\sqrt{2}\leqq u-v-1\leqq -1+\sqrt{2}
$$
である。この範囲で絶対値が最大になるのは
$$ u-v-1=-1-\sqrt{2}
$$
のときであり、その最大値は
$$ 1+\sqrt{2}
$$
である。
等号成立条件は
$$ (u,v)
$$
が $(1,-1)$ と逆向きであることである。すなわち
$$ (u,v)=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)
$$
である。
したがって、
$$ x=3+u=3-\frac{1}{\sqrt{2}},\quad y=1+v=1+\frac{1}{\sqrt{2}}
$$
となる。
よって、$\triangle PAC$ の面積を最大にする点 $P$ の座標は
$$ \left(3-\frac{1}{\sqrt{2}},\ 1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)
$$
である。
解説
ベクトル条件は、まず座標成分で処理するのが最も素直である。今回の条件は
$$ 3\overrightarrow{OP}-(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})
$$
という形なので、$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ を先にまとめると、円の方程式に直結する。
面積の最大化では、$\triangle PAC$ の底辺 $AC$ が固定されているため、実質的には点 $P$ から直線 $AC$ までの距離の最大化である。計算上は
$$ S=\frac{1}{2}|x-y-3|
$$
まで落とせば、円周上で一次式の絶対値を最大化する問題になる。
答え
**(1)**
$$ (x-3)^2+(y-1)^2=1
$$
**(2)**
$$ P\left(3-\frac{1}{\sqrt{2}},\ 1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)
$$