解説

方針・初手

$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA}$ の和が $\mathbf{0}$ であることを利用して、$a,b,c$ を各辺の長さと結びつける。特に、内積が $0$ なら直角、$a,b,c$ の等号は辺の長さの等号に対応する。

解法1

$\mathbf{x}=\overrightarrow{AB},\mathbf{y}=\overrightarrow{BC},\mathbf{z}=\overrightarrow{CA}$ とおく。このとき

$$ \mathbf{x}+\mathbf{y}+\mathbf{z}=\mathbf{0}

$$

であり、

$$ a=\mathbf{z}\cdot\mathbf{x},\quad b=\mathbf{x}\cdot\mathbf{y},\quad c=\mathbf{y}\cdot\mathbf{z}

$$

である。

まず、各辺の長さの平方を $a,b,c$ で表す。$\mathbf{x}+\mathbf{y}+\mathbf{z}=\mathbf{0}$ より、

$$ \mathbf{x}\cdot(\mathbf{x}+\mathbf{y}+\mathbf{z})=0

$$

だから、

$$ |\mathbf{x}|^2+b+a=0

$$

となる。したがって

$$ |\overrightarrow{AB}|^2=|\mathbf{x}|^2=-a-b

$$

である。同様に、

$$ |\overrightarrow{BC}|^2=|\mathbf{y}|^2=-b-c,\quad |\overrightarrow{CA}|^2=|\mathbf{z}|^2=-c-a

$$

である。

**(1)**

$abc=0$ のとき、$a,b,c$ の少なくとも1つが $0$ である。

$a=0$ なら

$$ \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{AB}=0

$$

である。$\overrightarrow{CA}$ は $\overrightarrow{AC}$ と向きが反対であるから、$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=0$ でもある。よって $\angle A=90^\circ$ である。

同様に、$b=0$ なら $\angle B=90^\circ$、$c=0$ なら $\angle C=90^\circ$ である。したがって、$\triangle ABC$ は直角三角形である。

逆に、$\triangle ABC$ が直角三角形なら、直角をはさむ2辺の対応する内積が $0$ になるので、$a,b,c$ のいずれかが $0$ である。よって $abc=0$ である。

したがって、$abc=0$ のとき、$\triangle ABC$ は直角三角形である。

**(2)**

各辺の長さの平方を用いて、$a-b,b-c,c-a$ を調べる。

上で得た式から、

$$ |\overrightarrow{AB}|^2=-a-b,\quad |\overrightarrow{BC}|^2=-b-c,\quad |\overrightarrow{CA}|^2=-c-a

$$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} a-b &=(-b-c)-(-c-a)\\ &=|\overrightarrow{BC}|^2-|\overrightarrow{CA}|^2, \end{aligned}

$$

すなわち

$$ a-b=|\overrightarrow{BC}|^2-|\overrightarrow{CA}|^2

$$

である。同様に、

$$ b-c=|\overrightarrow{CA}|^2-|\overrightarrow{AB}|^2

$$

かつ

$$ c-a=|\overrightarrow{AB}|^2-|\overrightarrow{BC}|^2

$$

である。

よって

$$ (a-b)(b-c)(c-a)=0

$$

なら、次のいずれかが成り立つ。

**(i)**

$a=b$ のとき、

$$ |\overrightarrow{BC}|^2=|\overrightarrow{CA}|^2

$$

であるから、$BC=CA$ である。

**(ii)**

$b=c$ のとき、

$$ |\overrightarrow{CA}|^2=|\overrightarrow{AB}|^2

$$

であるから、$CA=AB$ である。

**(iii)**

$c=a$ のとき、

$$ |\overrightarrow{AB}|^2=|\overrightarrow{BC}|^2

$$

であるから、$AB=BC$ である。

いずれの場合も、$\triangle ABC$ は二等辺三角形である。逆に二等辺三角形なら、対応する2辺の長さが等しいので、上の式から $a=b$、$b=c$、$c=a$ のいずれかが成り立つ。

したがって、$(a-b)(b-c)(c-a)=0$ のとき、$\triangle ABC$ は二等辺三角形である。

**(3)**

$\triangle ABC$ の面積を $S$ とする。$\mathbf{x}=\overrightarrow{AB},\mathbf{y}=\overrightarrow{BC}$ とすれば、$\triangle ABC$ の面積は、$\mathbf{x},\mathbf{y}$ がつくる平行四辺形の面積の半分であるから、

$$ S=\frac12\sqrt{|\mathbf{x}|^2|\mathbf{y}|^2-(\mathbf{x}\cdot\mathbf{y})^2}

$$

である。

ここで、

$$ |\mathbf{x}|^2=-a-b,\quad |\mathbf{y}|^2=-b-c,\quad \mathbf{x}\cdot\mathbf{y}=b

$$

より、

$$ \begin{aligned} 4S^2 &=|\mathbf{x}|^2|\mathbf{y}|^2-(\mathbf{x}\cdot\mathbf{y})^2\\ &=(-a-b)(-b-c)-b^2\\ &=(a+b)(b+c)-b^2\\ &=ab+ac+b^2+b c-b^2\\ &=ab+bc+ca. \end{aligned}

$$

したがって、

$$ S^2=\frac14(ab+bc+ca)

$$

である。面積 $S$ は正であるから、

$$ S=\frac12\sqrt{ab+bc+ca}

$$

となる。

解説

この問題の中心は、$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\mathbf{0}$ を使って、内積 $a,b,c$ と辺の長さを結びつけることである。

$a=0,b=0,c=0$ はそれぞれ頂点 $A,B,C$ における直角を表す。ただし、$\overrightarrow{CA}$ や $\overrightarrow{BC}$ は頂点から外向きのベクトルとは限らないため、向きに注意する必要がある。

また、$(a-b)(b-c)(c-a)=0$ は $a,b,c$ のどれか2つが等しいという条件であるが、そのまま角や辺を判断するより、辺の長さの平方に直すと二等辺三角形であることが見える。

面積公式は、2本のベクトルがつくる平行四辺形の面積

$$ \sqrt{|\mathbf{x}|^2|\mathbf{y}|^2-(\mathbf{x}\cdot\mathbf{y})^2}

$$

を用いるのが最短である。

答え

**(1)**

$\triangle ABC$ は直角三角形である。

**(2)**

$\triangle ABC$ は二等辺三角形である。ただし、正三角形も含む。

**(3)**

$\triangle ABC$ の面積 $S$ は

$$ S=\frac12\sqrt{ab+bc+ca}

$$

である。