解説

方針・初手

点 $P,Q,R$ の位置を、基準点 $O$ からの位置ベクトルで表す。まず $\overrightarrow{OA}=\vec a,\ \overrightarrow{OB}=\vec b$ とおくと、内分点・中点の公式から $P,Q$ の位置ベクトルが求まる。

その後、$R$ は直線 $OP$ 上かつ直線 $AQ$ 上にあるので、2通りに表した位置ベクトルを比較して比を求める。

解法1

$\overrightarrow{OA}=\vec a,\ \overrightarrow{OB}=\vec b$ とおく。このとき

$$ |\vec a|=3,\quad |\vec b|=2,\quad \vec a\cdot \vec b=3\cdot 2\cos 60^\circ=3

$$

である。

点 $P$ は辺 $AB$ を $3:1$ に内分するから、$AP:PB=3:1$ より

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OP} &= \frac{1\vec a+3\vec b}{4}\\ &= \frac{\vec a+3\vec b}{4} \end{aligned} $$

である。また、点 $Q$ は辺 $OB$ の中点であるから

$$ \overrightarrow{OQ}=\frac{1}{2}\vec b

$$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PQ} &=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP} \\ &=\frac{1}{2}\vec b-\frac{\vec a+3\vec b}{4} \\ &=-\frac{1}{4}\vec a-\frac{1}{4}\vec b \end{aligned}

$$

となる。

次に、線分 $PQ$ の長さを求める。

$$ \overrightarrow{PQ} = -\frac{1}{4}(\vec a+\vec b)

$$

より

$$ PQ = \frac{1}{4}|\vec a+\vec b|

$$

である。ここで

$$ \begin{aligned} |\vec a+\vec b|^2 &=|\vec a|^2+|\vec b|^2+2\vec a\cdot \vec b \\ &=3^2+2^2+2\cdot 3 \\ &=19 \end{aligned}

$$

だから

$$ PQ=\frac{\sqrt{19}}{4}

$$

である。

次に、点 $R$ の位置を求める。$R$ は直線 $OP$ 上にあるから、ある実数 $s$ を用いて

$$ \overrightarrow{OR}=s\overrightarrow{OP} = \frac{s}{4}\vec a+\frac{3s}{4}\vec b

$$

と表せる。

また、$R$ は直線 $AQ$ 上にあるから、ある実数 $t$ を用いて

$$ \overrightarrow{OR} = \overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{AQ}

$$

と表せる。ここで

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AQ} &= \overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OA}\\ &= \frac{1}{2}\vec b-\vec a \end{aligned} $$

なので

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OR} &= \vec a+t\left(\frac{1}{2}\vec b-\vec a\right)\\ &= (1-t)\vec a+\frac{t}{2}\vec b \end{aligned} $$

である。

よって係数を比較して

$$ \frac{s}{4}=1-t,\qquad \frac{3s}{4}=\frac{t}{2}

$$

を得る。第2式より

$$ t=\frac{3s}{2}

$$

であるから、第1式に代入して

$$ \frac{s}{4}=1-\frac{3s}{2}

$$

となる。よって

$$ \frac{7s}{4}=1

$$

より

$$ s=\frac{4}{7}

$$

である。

したがって

$$ \overrightarrow{OR}=\frac{4}{7}\overrightarrow{OP}

$$

なので、点 $R$ は線分 $OP$ を

$$ OR:RP=4:3

$$

に内分する。

最後に、$\triangle PQR$ の面積を求める。点 $R$ は線分 $OP$ 上にあるので、$\triangle OPQ$ と $\triangle PQR$ は、どちらも直線 $OP$ 上の辺を底辺とし、点 $Q$ から直線 $OP$ への高さが共通である。

したがって

$$ \frac{[PQR]}{[OPQ]}=\frac{PR}{OP}

$$

である。先ほど $OR:RP=4:3$ と分かったので

$$ \frac{PR}{OP}=\frac{3}{7}

$$

である。

ここで

$$ [OPQ] = \frac{1}{2}\left|\overrightarrow{OP}\times \overrightarrow{OQ}\right|

$$

である。三角形 $OAB$ の面積は

$$ \begin{aligned} [OAB] &= \frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2\cdot \sin 60^\circ\\ &= \frac{3\sqrt{3}}{2} \end{aligned} $$

である。

また、$P$ は $AB$ を $3:1$ に内分するので、$P$ から直線 $OB$ への高さは、$A$ から直線 $OB$ への高さの $\frac{1}{4}$ である。したがって

$$ [OPB]=\frac{1}{4}[OAB] = \frac{3\sqrt{3}}{8}

$$

である。

点 $Q$ は $OB$ の中点だから、$OQ:OB=1:2$ より

$$ [OPQ]=\frac{1}{2}[OPB] = \frac{3\sqrt{3}}{16}

$$

である。

よって

$$ \begin{aligned} [PQR] &= \frac{3}{7}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{16}\\ &= \frac{9\sqrt{3}}{112} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、内分点・中点・交点をすべて位置ベクトルで処理するのが最も自然である。

特に、$R$ は「直線 $OP$ 上」と「直線 $AQ$ 上」という2つの条件を持つため、それぞれの直線上の点として表し、$\vec a,\vec b$ の係数を比較するのが基本方針である。

面積は直接外積で求めてもよいが、$R$ が線分 $OP$ 上にあることを利用すると、$\triangle OPQ$ と $\triangle PQR$ の高さが共通になり、比で処理できる。計算量を抑えるにはこの見方が有効である。

答え

**(1)**

$$ \overrightarrow{PQ} = -\frac{1}{4}\overrightarrow{OA} -\frac{1}{4}\overrightarrow{OB}

$$

**(2)**

$$ PQ=\frac{\sqrt{19}}{4}

$$

**(3)**

$$ OR:RP=4:3

$$

**(4)**

$$ \triangle PQR=\frac{9\sqrt{3}}{112}

$$