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数学C 平面ベクトル「平面ベクトル」の問題20 解説
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解説
方針・初手
台形で $AB \parallel DC$ であることから、$\overrightarrow{AB}$ は $\vec{y}$ と同じ向きのベクトルである。
したがって
$$ \overrightarrow{AB}=k\vec{y}
$$
とおき、条件 $CB=1$ を用いて $k$ を決める。交点 $P$ については、$P$ が $AC$ 上にも $BD$ 上にもあることを用いて、2通りに $\overrightarrow{AP}$ を表して係数を比較する。
解法1
**(1)**
$AD=DC=CB=1$ より、
$$ |\vec{x}|=|\vec{y}|=1
$$
である。また、$AB \parallel DC$ より、ある実数 $k$ を用いて
$$ \overrightarrow{AB}=k\vec{y}
$$
と表せる。さらに $AB>1$ だから $k>1$ である。
点 $C$ から点 $B$ へのベクトルは
$$ \overrightarrow{CB} =\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB} =-(\vec{x}+\vec{y})+k\vec{y} =-\vec{x}+(k-1)\vec{y}
$$
である。$CB=1$ より、
$$ \left|-\vec{x}+(k-1)\vec{y}\right|^2=1
$$
となる。これを展開すると、
$$ |\vec{x}|^2+(k-1)^2|\vec{y}|^2-2(k-1)\vec{x}\cdot\vec{y}=1
$$
であり、$|\vec{x}|=|\vec{y}|=1$ より
$$ 1+(k-1)^2-2(k-1)\vec{x}\cdot\vec{y}=1
$$
すなわち
$$ (k-1){(k-1)-2\vec{x}\cdot\vec{y}}=0
$$
である。$k>1$ だから $k-1\neq 0$ であり、
$$ k-1=2\vec{x}\cdot\vec{y}
$$
となる。よって
$$ k=1+2\vec{x}\cdot\vec{y}
$$
である。したがって
$$ \overrightarrow{AB}=(1+2\vec{x}\cdot\vec{y})\vec{y}
$$
である。
**(2)**
$P$ は対角線 $AC$ 上にあるから、ある実数 $t$ を用いて
$$ \overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AC}=t(\vec{x}+\vec{y})
$$
と表せる。
一方、$P$ は対角線 $BD$ 上にもある。(1) より
$$ \overrightarrow{AB}=(1+2\vec{x}\cdot\vec{y})\vec{y}
$$
であるから、点 $B$ の位置ベクトルを $A$ を基準に見ると
$$ \overrightarrow{AB}=(1+2\vec{x}\cdot\vec{y})\vec{y}
$$
であり、点 $D$ の位置ベクトルは
$$ \overrightarrow{AD}=\vec{x}
$$
である。したがって、$P$ が $BD$ 上にあることから、ある実数 $u$ を用いて
$$ \overrightarrow{AP} =(1-u)\overrightarrow{AB}+u\overrightarrow{AD} =(1-u)(1+2\vec{x}\cdot\vec{y})\vec{y}+u\vec{x}
$$
と表せる。
ここで
$$ t(\vec{x}+\vec{y}) =u\vec{x}+(1-u)(1+2\vec{x}\cdot\vec{y})\vec{y}
$$
である。$\vec{x},\vec{y}$ の係数を比較すると、
$$ t=u
$$
および
$$ t=(1-u)(1+2\vec{x}\cdot\vec{y})
$$
を得る。$u=t$ を代入して、
$$ t=(1-t)(1+2\vec{x}\cdot\vec{y})
$$
である。これを解くと、
$$ t=\frac{1+2\vec{x}\cdot\vec{y}}{2+2\vec{x}\cdot\vec{y}}
$$
である。
よって
$$ \overrightarrow{AP} = \frac{1+2\vec{x}\cdot\vec{y}}{2+2\vec{x}\cdot\vec{y}}(\vec{x}+\vec{y})
$$
である。
**(3)**
$$ \vec{x}\cdot\vec{y}=\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
とする。$|\vec{x}|=|\vec{y}|=1$ であるから、$\vec{x}$ と $\vec{y}$ のなす角を $\theta$ とすると、
$$ \cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
より、
$$ \theta=30^\circ
$$
である。したがって
$$ |\vec{x}\times\vec{y}|=\sin30^\circ=\frac{1}{2}
$$
である。
また、(1) より
$$ \overrightarrow{AB}=(1+\sqrt{3})\vec{y}
$$
であり、(2) より
$$ \overrightarrow{AP} = \frac{1+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}(\vec{x}+\vec{y})
$$
である。
よって、三角形 $ABP$ の面積は
$$ \frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AP}\right|
$$
である。これに代入すると、
$$ \begin{aligned} \frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AP}\right| &= \frac{1}{2} \left| (1+\sqrt{3})\vec{y} \times \frac{1+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}(\vec{x}+\vec{y}) \right|\\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{(1+\sqrt{3})^2}{2+\sqrt{3}} \left|\vec{y}\times\vec{x}\right|\\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{(1+\sqrt{3})^2}{2+\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2}. \end{aligned}
$$
ここで
$$ (1+\sqrt{3})^2=4+2\sqrt{3}=2(2+\sqrt{3})
$$
であるから、
$$ \frac{1}{2} \cdot \frac{(1+\sqrt{3})^2}{2+\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
$$
となる。
したがって、三角形 $ABP$ の面積は
$$ \frac{1}{2}
$$
である。
解説
この問題では、まず $AB \parallel DC$ から $\overrightarrow{AB}$ が $\vec{y}$ の実数倍であることに気づくのが重要である。
そのうえで、未知の倍率 $k$ を置き、$CB=1$ をベクトルの長さの条件として処理する。ここで $AB>1$ があるため、$k=1$ の可能性を除外できる。
対角線の交点 $P$ については、$P$ が $AC$ 上にあることと $BD$ 上にあることを同時に用いる。特に、$\overrightarrow{AP}=t(\vec{x}+\vec{y})$ とおいてから、$BD$ 上での表し方と係数比較するのが自然である。
面積は、2つのベクトル $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AP}$ が作る平行四辺形の面積の半分として求める。$\vec{x}\cdot\vec{y}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ からなす角が $30^\circ$ と分かるため、外積の大きさを使えば計算が短くなる。
答え
**(1)**
$$ \overrightarrow{AB}=(1+2\vec{x}\cdot\vec{y})\vec{y}
$$
**(2)**
$$ \overrightarrow{AP} = \frac{1+2\vec{x}\cdot\vec{y}}{2+2\vec{x}\cdot\vec{y}}(\vec{x}+\vec{y})
$$
**(3)**
$$ \triangle ABP=\frac{1}{2}
$$