基礎問題集
数学C 平面ベクトル「平面ベクトル」の問題21 解説
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解説
方針・初手
直線の傾きを $m$ とおき、$x$ 軸・$y$ 軸との交点 $P,Q$ の座標を求める。ベクトルの等式は位置ベクトルの等式なので、点 $R$ の座標を $m$ で表し、最後に $m$ を消去する。
解法1
直線 $l$ は点 $A(1,2)$ を通り、$x$ 軸と $y$ 軸の両方と交わるので、傾き $m$ は $0$ でない。したがって
$$ l:y-2=m(x-1) \quad (m\ne 0)
$$
とおける。
$x$ 軸との交点 $P$ は $y=0$ を代入して
$$ 0-2=m(x-1)
$$
より
$$ x=1-\frac{2}{m}
$$
である。よって
$$ P\left(1-\frac{2}{m},0\right)
$$
である。
また、$y$ 軸との交点 $Q$ は $x=0$ を代入して
$$ y-2=m(0-1)
$$
より
$$ y=2-m
$$
である。よって
$$ Q(0,2-m)
$$
である。
点 $R$ の座標を $R(X,Y)$ とする。条件
$$ \overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OR}
$$
より
$$ \overrightarrow{OR} = \overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OA}
$$
である。したがって
$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OR} &= \left(1-\frac{2}{m},0\right)+(0,2-m)-(1,2)\\ &= \left(-\frac{2}{m},-m\right) \end{aligned}
$$
となる。よって
$$ R\left(-\frac{2}{m},-m\right)
$$
である。
ここで
$$ X=-\frac{2}{m}, \quad Y=-m
$$
だから、$m$ を消去すると
$$ XY=\left(-\frac{2}{m}\right)(-m)=2
$$
である。したがって
$$ Y=\frac{2}{X}
$$
となる。
また、$m\ne0$ であるから $X\ne0$ である。逆に、任意の $X\ne0$ に対して $m=-\dfrac{2}{X}$ とすれば、その傾きの直線によって対応する点 $R$ が得られる。
したがって、点 $R$ は
$$ y=\frac{2}{x}
$$
のグラフ上にある。
解法2
$x$ 軸との交点を $P(a,0)$、$y$ 軸との交点を $Q(0,b)$ とする。
まず、直線 $l$ が原点を通らない場合を考える。このとき $a,b$ はともに $0$ でなく、直線 $l$ は切片形で
$$ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1
$$
と表される。点 $A(1,2)$ を通るので
$$ \frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1
$$
が成り立つ。
一方、条件
$$ \overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OR}
$$
より
$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OR} &= (a,0)+(0,b)-(1,2)\\ &= (a-1,b-2) \end{aligned} $$
である。よって点 $R$ の座標を $R(X,Y)$ とすると
$$ X=a-1,\quad Y=b-2
$$
であり、
$$ a=X+1,\quad b=Y+2
$$
である。
これを
$$ \frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1
$$
に代入すると
$$ \frac{1}{X+1}+\frac{2}{Y+2}=1
$$
である。両辺に $(X+1)(Y+2)$ をかけると
$$ Y+2+2X+2=(X+1)(Y+2)
$$
である。右辺を展開して整理すると
$$ Y+2X+4=XY+2X+Y+2
$$
より
$$ XY=2
$$
を得る。したがって
$$ Y=\frac{2}{X}
$$
である。
次に、直線 $l$ が原点を通る場合は $P=Q=O$ である。このとき条件は
$$ \overrightarrow{0}+\overrightarrow{0} = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OR}
$$
となるので
$$ \overrightarrow{OR}=-\overrightarrow{OA}=(-1,-2)
$$
である。よって $R(-1,-2)$ となり、この場合も
$$ (-1)(-2)=2
$$
を満たす。
したがって、いずれの場合も点 $R$ は
$$ y=\frac{2}{x}
$$
のグラフ上にある。
解説
この問題の中心は、ベクトルの等式を座標の等式として処理することである。
直線の傾き $m$ を使うと、$P,Q$ の座標がすぐに求まり、点 $R$ は
$$ R\left(-\frac{2}{m},-m\right)
$$
と表される。ここで $m$ を消去すれば、傾きに依存しない関係式
$$ xy=2
$$
が得られる。
切片形を用いる解法では、点 $R$ の座標が切片から $1,2$ だけずれた点として見えるため、計算の見通しがよい。ただし、直線が原点を通る場合は切片形で扱えないので、別に確認する必要がある。
答え
$$ f(x)=\frac{2}{x}\quad (x\ne0)
$$