基礎問題集
数学C 平面ベクトル「平面ベクトル」の問題27 解説
数学Cの平面ベクトル「平面ベクトル」にある問題27の基礎問題と解説ページです。問題と保存済み解説を公開し、ログイン後はAI質問と学習履歴も利用できます。
MathGrAIl の基礎問題集にある公開問題ページです。ログイン前でも問題と保存済み解説を確認でき、ログイン後はAI質問と学習履歴の保存を利用できます。
- 基礎問題の問題画像と保存済み解説を公開
- ログイン後にAI質問で復習
- ログイン後に学習履歴を保存
解説
方針・初手
$|\vec a+t\vec b|$ を最小にするには、長さそのものではなく、その2乗 $|\vec a+t\vec b|^2$ を最小にすればよい。
これは $t$ の2次関数になるので、平方完成または微分で最小値をとる $t$ を求める。
解法1
与えられたベクトルは
$$ \vec a=(11,23),\quad \vec b=(-2,-3)
$$
であるから、
$$ \vec a+t\vec b=(11,23)+t(-2,-3)=(11-2t,23-3t)
$$
となる。
したがって、その長さの2乗は
$$ \begin{aligned} |\vec a+t\vec b|^2 &=(11-2t)^2+(23-3t)^2 \\ &=121-44t+4t^2+529-138t+9t^2 \\ &=13t^2-182t+650 \end{aligned}
$$
である。
$|\vec a+t\vec b|$ を最小にする $t$ は、$|\vec a+t\vec b|^2$ を最小にする $t$ と同じである。
よって、2次関数
$$ 13t^2-182t+650
$$
の最小を考えればよい。平方完成すると、
$$ \begin{aligned} 13t^2-182t+650 &=13\left(t^2-14t\right)+650 \\ &=13\left\{(t-7)^2-49\right\}+650 \\ &=13(t-7)^2+13 \end{aligned}
$$
となる。
$13(t-7)^2+13$ は $(t-7)^2$ が最小、すなわち $0$ になるとき最小となる。
したがって、
$$ t=7
$$
である。
解法2
$|\vec a+t\vec b|$ が最小となるとき、ベクトル $\vec a+t\vec b$ は $\vec b$ に垂直になる。
これは、点 $\vec a$ から直線方向 $\vec b$ へ下ろした垂線の足を考えていることに対応する。
したがって、
$$ (\vec a+t\vec b)\cdot \vec b=0
$$
を解けばよい。
まず、
$$ \vec a\cdot \vec b=11\cdot(-2)+23\cdot(-3)=-22-69=-91
$$
また、
$$ |\vec b|^2=(-2)^2+(-3)^2=13
$$
である。
よって、
$$ (\vec a+t\vec b)\cdot \vec b=\vec a\cdot \vec b+t|\vec b|^2
$$
より、
$$ -91+13t=0
$$
となる。これを解いて、
$$ t=7
$$
である。
解説
この問題では、絶対値を直接扱うよりも、長さの2乗を考えるのが基本である。長さは常に $0$ 以上なので、$|\vec a+t\vec b|$ の最小化と $|\vec a+t\vec b|^2$ の最小化は同じ $t$ を与える。
また、幾何的には $\vec a+t\vec b$ が最短になるとき、そのベクトルは動く方向である $\vec b$ と垂直になる。この見方を使うと、内積の条件から短く解ける。
答え
$$ t=7
$$