基礎問題集
数学C 平面ベクトル「平面ベクトル」の問題28 解説
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解説
方針・初手
ベクトルのなす角は内積で求める。条件 $|\vec{a}-\vec{b}|=1$ を2乗して、$\vec{a}\cdot\vec{b}$ を求めればよい。
解法1
$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とする。ただし、$0\leqq \theta \leqq \pi$ である。
条件より
$$ |\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|=1
$$
である。ここで、両辺を2乗して
$$ |\vec{a}-\vec{b}|^2=1
$$
を用いる。
左辺を内積で展開すると、
$$ |\vec{a}-\vec{b}|^2 =(\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b}) =|\vec{a}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2
$$
である。したがって、
$$ 1=1-2\vec{a}\cdot\vec{b}+1
$$
より、
$$ 2\vec{a}\cdot\vec{b}=1
$$
すなわち
$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{1}{2}
$$
である。
一方、内積の定義より
$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta
$$
である。$|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$ だから、
$$ \frac{1}{2}=1\cdot 1\cdot \cos\theta
$$
となり、
$$ \cos\theta=\frac{1}{2}
$$
を得る。
$0\leqq\theta\leqq\pi$ であるから、
$$ \theta=\frac{\pi}{3}
$$
である。
解法2
$|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|=1$ であるから、始点をそろえた2つのベクトル $\vec{a},\vec{b}$ の終点をそれぞれ $A,B$ とすると、原点を $O$ として
$$ OA=OB=AB=1
$$
である。
したがって、三角形 $OAB$ は正三角形である。よって、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角は $\angle AOB$ に等しいので、
$$ \angle AOB=60^\circ
$$
である。
したがって、
$$ \theta=\frac{\pi}{3}
$$
である。
解説
条件 $|\vec{a}-\vec{b}|$ は、2つのベクトルの終点間の距離を表している。したがって、図形的には正三角形と見ることもできる。
ただし、計算で確実に処理するなら、$|\vec{a}-\vec{b}|^2$ を内積で展開するのが基本である。なす角を求める問題では、まず $\vec{a}\cdot\vec{b}$ を求め、そこから $\cos\theta$ に結びつける流れが典型である。
答え
$$ \frac{\pi}{3}
$$
すなわち、
$$ 60^\circ
$$