解説

方針・初手

角の二等分線の方向ベクトルは、2辺方向の単位ベクトルの和で表せる。

ここでは $|\vec{a}|=1,\ |\vec{b}|=2$ より、$OA$ 方向の単位ベクトルは $\vec{a}$、$OB$ 方向の単位ベクトルは $\dfrac{\vec{b}}{2}$ である。したがって、$\ell_1$ 上の点をまずパラメータで表し、さらに $\ell_2$ 上の点としても表して係数比較する。

解法1

$O$ を始点として考える。

$\angle AOB$ の二等分線 $\ell_1$ の方向ベクトルは

$$ \vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}

$$

である。よって、点 $P$ は $\ell_1$ 上にあるから、ある実数 $t$ を用いて

$$ \overrightarrow{OP} =t\left(\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}\right) =t\vec{a}+\frac{t}{2}\vec{b}

$$

と表せる。

次に、辺 $OA$ の中点を $M$ とする。すると

$$ \overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\vec{a}

$$

である。

点 $P$ は、点 $M$ と点 $B$ を通る直線 $\ell_2$ 上にもある。したがって、ある実数 $s$ を用いて

$$ \overrightarrow{OP} =(1-s)\overrightarrow{OM}+s\overrightarrow{OB} =(1-s)\frac{1}{2}\vec{a}+s\vec{b}

$$

と表せる。

すなわち

$$ \overrightarrow{OP} =\frac{1-s}{2}\vec{a}+s\vec{b}

$$

である。

ここで、三角形 $OAB$ を考えているので、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は平行でなく、係数比較ができる。

$$ t\vec{a}+\frac{t}{2}\vec{b} = \frac{1-s}{2}\vec{a}+s\vec{b}

$$

より、

$$ t=\frac{1-s}{2},\qquad \frac{t}{2}=s

$$

を得る。

$s=\dfrac{t}{2}$ を $t=\dfrac{1-s}{2}$ に代入すると、

$$ t=\frac{1-\frac{t}{2}}{2}

$$

である。これを解くと、

$$ t=\frac{1}{2}-\frac{t}{4}

$$

より

$$ \frac{5}{4}t=\frac{1}{2}

$$

したがって

$$ t=\frac{2}{5}

$$

である。

よって

$$ \overrightarrow{OP} =t\vec{a}+\frac{t}{2}\vec{b} =\frac{2}{5}\vec{a}+\frac{1}{5}\vec{b}

$$

となる。

解説

この問題の要点は、角の二等分線の方向ベクトルを単位ベクトルの和で表すことである。

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ をそのまま足すのではなく、長さをそろえて

$$ \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}

$$

を使う必要がある。今回は $|\vec{a}|=1,\ |\vec{b}|=2$ なので、方向ベクトルは $\vec{a}+\dfrac{1}{2}\vec{b}$ となる。

あとは、同じ点 $P$ を直線 $\ell_1$ 上の点として表す式と、直線 $\ell_2$ 上の点として表す式を作り、$\vec{a},\vec{b}$ の係数を比較すればよい。

答え

$$ \overrightarrow{OP} = \frac{2}{5}\vec{a}+\frac{1}{5}\vec{b}

$$