解説

方針・初手

条件式に内積が含まれているので、まず $\overrightarrow{AP}$ と $\overrightarrow{BP}$ を座標で表す。

そのうえで与えられた式を $x,y$ の方程式に直し、平方完成して円の方程式に変形する。

解法1

点 $A(1,3)$、$B(5,-1)$、$P(x,y)$ より、

$$ \overrightarrow{AP}=(x-1,\ y-3),\qquad \overrightarrow{BP}=(x-5,\ y+1)

$$

である。

また、

$$ \overrightarrow{AB}=(5-1,\ -1-3)=(4,-4)

$$

より、

$$ |\overrightarrow{AB}|^2=4^2+(-4)^2=32

$$

である。

したがって、条件

$$ 4\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=|\overrightarrow{AB}|^2

$$

は、

$$ 4{(x-1)(x-5)+(y-3)(y+1)}=32

$$

となる。両辺を $4$ で割ると、

$$ (x-1)(x-5)+(y-3)(y+1)=8

$$

である。

左辺を展開すると、

$$ \begin{aligned} (x-1)(x-5)+(y-3)(y+1) &=x^2-6x+5+y^2-2y-3\\ &=x^2+y^2-6x-2y+2 \end{aligned}

$$

よって、

$$ x^2+y^2-6x-2y+2=8

$$

すなわち、

$$ x^2+y^2-6x-2y-6=0

$$

となる。

これを平方完成すると、

$$ \begin{aligned} x^2-6x+y^2-2y-6&=0\\ (x-3)^2-9+(y-1)^2-1-6&=0\\ (x-3)^2+(y-1)^2&=16 \end{aligned}

$$

これは中心 $(3,1)$、半径 $4$ の円の方程式である。

したがって、条件を満たす点 $P$ の軌跡は円である。

解法2

線分 $AB$ の中点を $M$ とすると、

$$ M\left(\frac{1+5}{2},\frac{3+(-1)}{2}\right)=(3,1)

$$

である。

ここで、$\overrightarrow{MP}=\mathbf{p}$、$\overrightarrow{MA}=\mathbf{a}$ とおく。$M$ は $AB$ の中点なので、

$$ \overrightarrow{MB}=-\overrightarrow{MA}=-\mathbf{a}

$$

である。

このとき、

$$ \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{MP}-\overrightarrow{MA}=\mathbf{p}-\mathbf{a}

$$

また、

$$ \overrightarrow{BP}=\overrightarrow{MP}-\overrightarrow{MB}=\mathbf{p}+\mathbf{a}

$$

である。したがって、

$$ \overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP} =(\mathbf{p}-\mathbf{a})\cdot(\mathbf{p}+\mathbf{a}) =|\mathbf{p}|^2-|\mathbf{a}|^2

$$

となる。

条件式より、

$$ 4\left(|\mathbf{p}|^2-|\mathbf{a}|^2\right)=|\overrightarrow{AB}|^2

$$

である。

ここで、$M$ は $AB$ の中点だから、

$$ |\mathbf{a}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|

$$

である。よって、

$$ |\mathbf{a}|^2=\frac{1}{4}|\overrightarrow{AB}|^2

$$

なので、

$$ 4\left(|\mathbf{p}|^2-\frac{1}{4}|\overrightarrow{AB}|^2\right)=|\overrightarrow{AB}|^2

$$

となる。整理すると、

$$ 4|\mathbf{p}|^2-|\overrightarrow{AB}|^2=|\overrightarrow{AB}|^2

$$

したがって、

$$ 4|\mathbf{p}|^2=2|\overrightarrow{AB}|^2

$$

より、

$$ |\mathbf{p}|^2=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|^2

$$

である。

すでに

$$ |\overrightarrow{AB}|^2=32

$$

だから、

$$ |\mathbf{p}|^2=16

$$

すなわち、

$$ |\overrightarrow{MP}|=4

$$

である。

よって、点 $P$ は点 $M(3,1)$ からの距離が常に $4$ である点全体であり、中心 $(3,1)$、半径 $4$ の円である。

解説

この問題では、内積条件を座標方程式に直すと自然に円の方程式が現れる。

特に重要なのは、$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}$ を展開したあと、平方完成によって

$$ (x-3)^2+(y-1)^2=16

$$

の形に変形することである。

また、解法2のように中点 $M$ を用いると、中心が線分 $AB$ の中点になる理由も見えやすい。座標計算だけでなく、ベクトルの対称性から円であることを示せる点がこの問題の特徴である。

答え

点 $P$ の軌跡は

$$ (x-3)^2+(y-1)^2=16

$$

で表される円である。

中心は

$$ (3,1)

$$

半径は

$$ 4

$$

である。