解説

方針・初手

ベクトル $\vec{b}$ は、$\vec{a}$ を原点を中心に正の向きに $90^\circ$ 回転したものなので、座標の変換

$$ (x,y)\mapsto (-y,x)

$$

を用いればよい。

そのあと、求めるベクトルを $s\vec{a}+t\vec{b}$ とおいて、係数 $s,t$ を連立方程式で求める。

解法1

与えられたベクトルは

$$ \vec{a}=\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right)

$$

である。

これを原点を中心に正の方向へ $90^\circ$ 回転すると、座標は $(x,y)\mapsto (-y,x)$ と変わるので、

$$ \vec{b}=\left(-\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right)

$$

である。

ここで

$$ \left(\frac{7}{\sqrt{5}},-\frac{4}{\sqrt{5}}\right)=s\vec{a}+t\vec{b}

$$

とおく。

右辺を成分で表すと、

$$ \begin{aligned} s\vec{a}+t\vec{b} &= s\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right) +t\left(-\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\\ &= \left(\frac{2s-t}{\sqrt{5}},\frac{s+2t}{\sqrt{5}}\right) \end{aligned}

$$

である。

したがって、成分を比較して

$$ \begin{cases} 2s-t=7\\ s+2t=-4 \end{cases}

$$

を得る。

第1式から

$$ t=2s-7

$$

である。これを第2式に代入すると、

$$ s+2(2s-7)=-4

$$

より、

$$ 5s-14=-4

$$

したがって

$$ 5s=10

$$

なので、

$$ s=2

$$

である。

また、

$$ t=2s-7=4-7=-3

$$

である。

よって、

$$ \left(\frac{7}{\sqrt{5}},-\frac{4}{\sqrt{5}}\right)=2\vec{a}-3\vec{b}

$$

である。

解説

正の方向への $90^\circ$ 回転では、ベクトル $(x,y)$ は $(-y,x)$ に変わる。この回転後のベクトル $\vec{b}$ を正しく求めることが最初の要点である。

その後は、与えられたベクトルを $\vec{a},\vec{b}$ の一次結合として表すだけなので、係数を文字でおいて成分比較すればよい。

答え

$$ [②]=2,\qquad [③]=-3

$$