解説

方針・初手

外心がともに点 $O$ であることは、点 $P,Q,R$ が点 $O$ から等距離にあることを意味する。したがって、$\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ},\overrightarrow{OR}$ を $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ で表し、長さの等式を調べればよい。

解法1

円の半径を $\rho$ とし、点 $O$ を原点とする。位置ベクトルを

$$ \vec{a}=\overrightarrow{OA},\quad \vec{b}=\overrightarrow{OB},\quad \vec{c}=\overrightarrow{OC}

$$

とおく。このとき、$A,B,C$ は点 $O$ を中心とする円周上にあるから

$$ |\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=\rho

$$

である。

点 $P,Q,R$ はそれぞれ辺 $AB,BC,CA$ を $2:3$ に内分するので、

$$ \overrightarrow{OP} =\frac{3\vec{a}+2\vec{b}}{5},\quad \overrightarrow{OQ} =\frac{3\vec{b}+2\vec{c}}{5},\quad \overrightarrow{OR} =\frac{3\vec{c}+2\vec{a}}{5}

$$

である。

$\triangle PQR$ の外心が点 $O$ と一致するから、

$$ OP=OQ=OR

$$

である。そこで、それぞれの2乗を計算する。

まず

$$ \begin{aligned} OP^2 &=\left|\frac{3\vec{a}+2\vec{b}}{5}\right|^2 \\ &=\frac{1}{25}\left(9|\vec{a}|^2+12\vec{a}\cdot\vec{b}+4|\vec{b}|^2\right) \\ &=\frac{1}{25}\left(13\rho^2+12\vec{a}\cdot\vec{b}\right) \end{aligned}

$$

である。同様に、

$$ OQ^2=\frac{1}{25}\left(13\rho^2+12\vec{b}\cdot\vec{c}\right)

$$

$$ OR^2=\frac{1}{25}\left(13\rho^2+12\vec{c}\cdot\vec{a}\right)

$$

である。

$OP=OQ=OR$ より、これらの2乗も等しいから、

$$ \begin{aligned} \vec{a}\cdot\vec{b} &= \vec{b}\cdot\vec{c}\\ &= \vec{c}\cdot\vec{a} \end{aligned} $$

を得る。

一方、辺の長さは

$$ AB^2=|\vec{a}-\vec{b}|^2 =|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b} =2\rho^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}

$$

である。同様に、

$$ BC^2=2\rho^2-2\vec{b}\cdot\vec{c}

$$

$$ CA^2=2\rho^2-2\vec{c}\cdot\vec{a}

$$

である。

先ほど示した

$$ \begin{aligned} \vec{a}\cdot\vec{b} &= \vec{b}\cdot\vec{c}\\ &= \vec{c}\cdot\vec{a} \end{aligned} $$

を用いると、

$$ AB^2=BC^2=CA^2

$$

となる。三角形の辺の長さは正であるから、

$$ AB=BC=CA

$$

である。

したがって、$\triangle ABC$ は正三角形である。

解説

この問題の核心は、「$\triangle PQR$ の外心が $O$ である」という条件を $OP=OQ=OR$ と読み替えることである。

点 $P,Q,R$ はそれぞれ $2:3$ の内分点なので、位置ベクトルで表すと係数が循環的に現れる。そのため、$OP^2,OQ^2,OR^2$ を計算すると、違いは内積

$$ \vec{a}\cdot\vec{b},\quad \vec{b}\cdot\vec{c},\quad \vec{c}\cdot\vec{a}

$$

だけに現れる。

内積が等しいことは、同じ半径の円周上では対応する弦の長さが等しいことを意味する。したがって、$AB,BC,CA$ がすべて等しくなり、$\triangle ABC$ は正三角形である。

答え

$\triangle ABC$ は正三角形である。