解説

方針・初手

$C$ を始点とする位置ベクトルで考える。$\overrightarrow{CA}=\vec a,\ \overrightarrow{CB}=\vec b$ より、

$$ |\vec a|=1,\quad |\vec b|=k,\quad \vec a\cdot \vec b=k\cos 60^\circ=\frac{k}{2}

$$

である。垂線条件は内積が $0$ になる条件として処理する。

解法1

重心 $G$ は三角形の3頂点の位置ベクトルの平均である。$C$ を原点とみれば、$C,A,B$ の位置ベクトルはそれぞれ $\vec 0,\vec a,\vec b$ だから、

$$ \overrightarrow{CG}=\frac{\vec a+\vec b}{3}

$$

である。

次に、$\overrightarrow{CF}=m\vec a+n\vec b$ とおく。

$A$ から $BC$ に下ろした垂線上に $F$ があるので、$AF\perp BC$ である。したがって、

$$ (\overrightarrow{CF}-\overrightarrow{CA})\cdot \overrightarrow{CB}=0

$$

より、

$$ (m\vec a+n\vec b-\vec a)\cdot \vec b=0

$$

となる。ここに $|\vec b|^2=k^2,\ \vec a\cdot\vec b=\frac{k}{2}$ を代入すると、

$$ (m-1)\frac{k}{2}+nk^2=0

$$

すなわち、

$$ m+2kn=1

$$

である。

また、$B$ から $AC$ に下ろした垂線上に $F$ があるので、$BF\perp AC$ である。したがって、

$$ (\overrightarrow{CF}-\overrightarrow{CB})\cdot \overrightarrow{CA}=0

$$

より、

$$ (m\vec a+n\vec b-\vec b)\cdot \vec a=0

$$

となる。よって、

$$ m+(n-1)\frac{k}{2}=0

$$

すなわち、

$$ 2m+kn=k

$$

である。

連立方程式

$$ \begin{cases} m+2kn=1,\\ 2m+kn=k \end{cases}

$$

を解くと、

$$ m=\frac{2k-1}{3},\quad n=\frac{2-k}{3k}

$$

である。したがって、

$$ \overrightarrow{CF} = \frac{2k-1}{3}\vec a+\frac{2-k}{3k}\vec b

$$

である。

次に、$G$ が線分 $FH$ を $2:1$ に内分するから、

$$ FG:GH=2:1

$$

である。よって、$C$ を始点とする位置ベクトルについて、

$$ \overrightarrow{CG} = \frac{\overrightarrow{CF}+2\overrightarrow{CH}}{3}

$$

が成り立つ。したがって、

$$ \overrightarrow{CH} = \frac{3\overrightarrow{CG}-\overrightarrow{CF}}{2}

$$

である。

ここに、

$$ \overrightarrow{CG}=\frac{\vec a+\vec b}{3},\quad \overrightarrow{CF} = \frac{2k-1}{3}\vec a+\frac{2-k}{3k}\vec b

$$

を代入すると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{CH} &= \frac{1}{2} \left\{ \vec a+\vec b &=

\left( \frac{2k-1}{3}\vec a+\frac{2-k}{3k}\vec b \right) \right\}\\ &= \frac{1}{2} \left\{ \frac{4-2k}{3}\vec a+\frac{4k-2}{3k}\vec b \right\}\\ &= \frac{2-k}{3}\vec a+\frac{2k-1}{3k}\vec b. \end{aligned}

$$

よって、

$$ \overrightarrow{CH} = \frac{2-k}{3}\vec a+\frac{2k-1}{3k}\vec b

$$

である。

最後に、$H$ が外心であることを示す。

$$ \overrightarrow{CH} = \frac{2-k}{3}\vec a+\frac{2k-1}{3k}\vec b

$$

とおく。$H$ が外心であることを示すには、

$$ CH=AH=BH

$$

を示せばよい。

まず、

$$ AH^2=CH^2

$$

は、

$$ |\overrightarrow{CH}-\vec a|^2=|\overrightarrow{CH}|^2

$$

と同値であり、これは

$$ 2\overrightarrow{CH}\cdot \vec a=|\vec a|^2

$$

と同値である。

実際に計算すると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{CH}\cdot \vec a &= \frac{2-k}{3}|\vec a|^2+\frac{2k-1}{3k}(\vec b\cdot \vec a)\\ &= \frac{2-k}{3}+\frac{2k-1}{3k}\cdot \frac{k}{2}\\ &= \frac{2-k}{3}+\frac{2k-1}{6}\\ &= \frac{1}{2}. \end{aligned}

$$

したがって、

$$ 2\overrightarrow{CH}\cdot \vec a=1=|\vec a|^2

$$

より、

$$ AH=CH

$$

である。

次に、

$$ BH^2=CH^2

$$

は、

$$ |\overrightarrow{CH}-\vec b|^2=|\overrightarrow{CH}|^2

$$

と同値であり、これは

$$ 2\overrightarrow{CH}\cdot \vec b=|\vec b|^2

$$

と同値である。

実際に計算すると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{CH}\cdot \vec b &= \frac{2-k}{3}(\vec a\cdot \vec b)+\frac{2k-1}{3k}|\vec b|^2\\ &= \frac{2-k}{3}\cdot \frac{k}{2}+\frac{2k-1}{3k}\cdot k^2\\ &= \frac{k(2-k)}{6}+\frac{k(2k-1)}{3}\\ &= \frac{k(2-k)+2k(2k-1)}{6}\\ &= \frac{3k^2}{6}\\ &= \frac{k^2}{2}. \end{aligned}

$$

したがって、

$$ 2\overrightarrow{CH}\cdot \vec b=k^2=|\vec b|^2

$$

より、

$$ BH=CH

$$

である。

以上より、

$$ AH=BH=CH

$$

である。したがって、$H$ は三角形 $ABC$ の3頂点から等距離にある点であり、$\triangle ABC$ の外心である。

解説

この問題では、垂線条件を内積で表すことが中心である。$F$ は2本の垂線の交点なので、$AF\perp BC$ と $BF\perp AC$ をそれぞれ内積 $0$ の条件に直せば、$\overrightarrow{CF}=m\vec a+n\vec b$ の係数が連立方程式で求まる。

また、$H$ の外心性は、座標を導入しなくても

$$ |\overrightarrow{CH}-\vec a|^2=|\overrightarrow{CH}|^2,\quad |\overrightarrow{CH}-\vec b|^2=|\overrightarrow{CH}|^2

$$

を示せば十分である。これはそれぞれ

$$ 2\overrightarrow{CH}\cdot\vec a=|\vec a|^2,\quad 2\overrightarrow{CH}\cdot\vec b=|\vec b|^2

$$

という内積計算に帰着する。

答え

**(1)**

$$ \overrightarrow{CG}=\frac{\vec a+\vec b}{3}

$$

**(2)**

$$ m=\frac{2k-1}{3},\quad n=\frac{2-k}{3k}

$$

したがって、

$$ \overrightarrow{CF} = \frac{2k-1}{3}\vec a+\frac{2-k}{3k}\vec b

$$

**(3)**

$$ \overrightarrow{CH} = \frac{2-k}{3}\vec a+\frac{2k-1}{3k}\vec b

$$

**(4)**

$$ AH=BH=CH

$$

が成り立つので、$H$ は $\triangle ABC$ の外心である。