解説

方針・初手

半径 $1$ の円周上にあるので、位置ベクトル $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ の大きさはいずれも $1$ である。まず与えられたベクトル等式

$$ 3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}=5\overrightarrow{OC}

$$

の両辺の大きさを比較し、内積を求める。その後、直線上の点を「係数の和が $1$ である一次結合」として表す。

解法1

$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a},\overrightarrow{OB}=\mathbf{b},\overrightarrow{OC}=\mathbf{c}$ とおく。

$A,B,C$ は中心 $O$、半径 $1$ の円周上にあるから、

$$ |\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=|\mathbf{c}|=1

$$

である。

与えられた条件は

$$ 3\mathbf{a}+4\mathbf{b}=5\mathbf{c}

$$

である。両辺の大きさの2乗をとると、

$$ |3\mathbf{a}+4\mathbf{b}|^2=|5\mathbf{c}|^2

$$

である。よって、

$$ 9|\mathbf{a}|^2+24\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+16|\mathbf{b}|^2=25|\mathbf{c}|^2

$$

となる。$|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=|\mathbf{c}|=1$ より、

$$ 9+24\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+16=25

$$

であるから、

$$ 24\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0

$$

となる。したがって、

$$ \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0

$$

である。よって

$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0

$$

である。

次に、直線 $AB$ と直線 $OC$ の交点を $D$ とする。

$D$ は直線 $OC$ 上にあるから、ある実数 $t$ を用いて

$$ \overrightarrow{OD}=t\overrightarrow{OC}

$$

と表せる。条件より

$$ \overrightarrow{OC}=\frac{3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}}{5}

$$

であるから、

$$ \overrightarrow{OD} =t\cdot \frac{3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}}{5} =\frac{3t}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{4t}{5}\overrightarrow{OB}

$$

である。

一方、$D$ は直線 $AB$ 上にある。直線 $AB$ 上の点の位置ベクトルは、$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ の係数の和が $1$ である一次結合で表される。

したがって、

$$ \frac{3t}{5}+\frac{4t}{5}=1

$$

を満たせばよい。これより、

$$ \frac{7t}{5}=1

$$

なので、

$$ t=\frac{5}{7}

$$

である。よって、

$$ \overrightarrow{OD} =\frac{3}{7}\overrightarrow{OA}+\frac{4}{7}\overrightarrow{OB}

$$

である。

最後に、$\triangle ABC$ の面積を求める。

すでに $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0$ と分かっているので、$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ は直交する。したがって、座標を

$$ O=(0,0),\quad A=(1,0),\quad B=(0,1)

$$

とおいてよい。

このとき、

$$ \overrightarrow{OC} =\frac{3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}}{5}

$$

より、

$$ C=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)

$$

である。

したがって、

$$ \overrightarrow{AB}=B-A=(-1,1)

$$

であり、

$$ \overrightarrow{AC}=C-A=\left(-\frac{2}{5},\frac{4}{5}\right)

$$

である。

よって、$\triangle ABC$ の面積は

$$ \frac{1}{2}\left| \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -\frac{2}{5} & \frac{4}{5} \end{vmatrix} \right|

$$

である。これを計算すると、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2}\left| (-1)\cdot \frac{4}{5}-1\cdot\left(-\frac{2}{5}\right) \right| &=\frac{1}{2}\left|-\frac{4}{5}+\frac{2}{5}\right| \\ &=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{5} \\ &=\frac{1}{5} \end{aligned}

$$

である。

解説

この問題の中心は、円周上の点の位置ベクトルの大きさがすべて $1$ であることを使い、与えられたベクトル等式を長さの式に直す点にある。

特に

$$ |3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}|^2=|5\overrightarrow{OC}|^2

$$

とすることで、内積 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}$ が直接求まる。ここで $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ が直交することが分かれば、面積計算は座標化して処理するのが最も簡潔である。

また、直線 $AB$ 上の点を表すときは、$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ の係数の和が $1$ になることが重要である。これは内分・外分を含む直線上の点の基本的な表し方である。

答え

**(1)**

$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0

$$

**(2)**

$$ \overrightarrow{OD} =\frac{3}{7}\overrightarrow{OA} +\frac{4}{7}\overrightarrow{OB}

$$

**(3)**

$$ \triangle ABC=\frac{1}{5}

$$