解説

方針・初手

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}$ を用いる。特に、ある1つの辺のベクトルを残して他の2つの和をまとめると、内積の和が辺の長さの2乗に直結する。

また、$K$ は3つの内積の和の2倍なので、ベクトルの恒等式

$$ |\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}|^2=0

$$

を展開すればよい。

解法1

簡単のため、

$$ \vec{x}=\overrightarrow{AB},\quad \vec{y}=\overrightarrow{BC},\quad \vec{z}=\overrightarrow{CA}

$$

とおく。このとき三角形を一周するベクトルの和は零ベクトルであるから、

$$ \vec{x}+\vec{y}+\vec{z}=\vec{0}

$$

である。また、

$$ |\vec{y}|=BC=a,\quad |\vec{z}|=CA=b,\quad |\vec{x}|=AB=c

$$

である。

まず、(1) を示す。

$$ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CA} = \vec{x}\cdot\vec{y}+\vec{y}\cdot\vec{z}

$$

である。内積の交換法則より $\vec{x}\cdot\vec{y}=\vec{y}\cdot\vec{x}$ だから、

$$ \begin{aligned} \vec{x}\cdot\vec{y}+\vec{y}\cdot\vec{z} &= \vec{y}\cdot\vec{x}+\vec{y}\cdot\vec{z}\\ &= \vec{y}\cdot(\vec{x}+\vec{z}) \end{aligned} $$

となる。ここで $\vec{x}+\vec{y}+\vec{z}=\vec{0}$ より、

$$ \vec{x}+\vec{z}=-\vec{y}

$$

である。したがって、

$$ \vec{y}\cdot(\vec{x}+\vec{z}) = \vec{y}\cdot(-\vec{y})

-|\vec{y}|^2

-a^2

$$

となる。よって、

$$ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CA} = -a^2

$$

が示された。

次に、(2) を示す。

$K$ の定義より、

$$ K=2(\vec{x}\cdot\vec{y}+\vec{y}\cdot\vec{z}+\vec{z}\cdot\vec{x})

$$

である。一方、

$$ \vec{x}+\vec{y}+\vec{z}=\vec{0}

$$

より、

$$ |\vec{x}+\vec{y}+\vec{z}|^2=0

$$

である。左辺を展開すると、

$$ |\vec{x}|^2+|\vec{y}|^2+|\vec{z}|^2 +2(\vec{x}\cdot\vec{y}+\vec{y}\cdot\vec{z}+\vec{z}\cdot\vec{x}) =0

$$

である。ここで $|\vec{x}|=c,\ |\vec{y}|=a,\ |\vec{z}|=b$ だから、

$$ c^2+a^2+b^2+K=0

$$

となる。したがって、

$$ K=-(a^2+b^2+c^2)

$$

である。

最後に、(3) を示す。

(2) より、

$$ 3K=-3(a^2+b^2+c^2)

$$

である。したがって、示すべき不等式

$$ 3K\le -(a+b+c)^2

$$

は、

$$ -3(a^2+b^2+c^2)\le -(a+b+c)^2

$$

と同値である。両辺に $-1$ をかけて不等号の向きを反対にすると、

$$ 3(a^2+b^2+c^2)\ge (a+b+c)^2

$$

を示せばよい。

これは

$$ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge 0

$$

から従う。実際、

$$ \begin{aligned} (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 &=2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \end{aligned}

$$

であるから、

$$ a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca

$$

である。よって、

$$ 3(a^2+b^2+c^2)\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2

$$

が成り立つ。したがって、

$$ 3K\le -(a+b+c)^2

$$

が示された。

等号成立条件は

$$ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0

$$

である。平方の和が $0$ になるにはそれぞれが $0$ でなければならないので、

$$ a=b=c

$$

である。したがって、等号が成立するのは、$\triangle ABC$ が正三角形のときである。

解説

この問題の中心は、三角形を一周するベクトルの和

$$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}

$$

をどう使うかである。

(1) では、共通して現れる $\overrightarrow{BC}$ をくくると、$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{BC}$ が使える。これにより内積の和が $-|\overrightarrow{BC}|^2$ になる。

(2) では、零ベクトルの長さの2乗を展開するのが最も自然である。3つの内積の和が、3辺の長さの2乗の和に変換される。

(3) は、(2) で得た $K=-(a^2+b^2+c^2)$ を使うと、辺の長さに関する基本不等式

$$ 3(a^2+b^2+c^2)\ge (a+b+c)^2

$$

に帰着する。等号成立条件まで確認すると、三角形は正三角形である。

答え

**(1)**

$$ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CA} = -a^2

$$

**(2)**

$$ K=-(a^2+b^2+c^2)

$$

**(3)**

$$ 3K\le -(a+b+c)^2

$$

等号が成立するのは、

$$ a=b=c

$$

すなわち $\triangle ABC$ が正三角形のときである。