解説

方針・初手

台形の対角線の交点 $E$ は、対角線を底辺の長さの比に内分する。ここでは $AD:BC=2:1$ なので、対角線 $AC$ 上で

$$ AE:EC=2:1

$$

となる。まずこれにより $\overrightarrow{OE}$ を $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}$ で表す。

その後、与えられた内積条件を順に使い、$\overrightarrow{OA}$ の長さ、さらに $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AD}$ と $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB}$ を求める。

解法1

$E$ は対角線 $AC$ 上にあり、

$$ AE:EC=2:1

$$

であるから、

$$ \overrightarrow{OE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OC}

$$

である。これが (1) の答えである。

次に、与えられた条件

$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=12\sqrt{6}, \qquad \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OE}=3+8\sqrt{6}

$$

を用いる。

上で得た式より、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OE} &= \overrightarrow{OA}\cdot \left( \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OC} \right)\\ &= \frac{1}{3}|\overrightarrow{OA}|^2 + \frac{2}{3}\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}\\ &= \frac{1}{3}|\overrightarrow{OA}|^2 + \frac{2}{3}\cdot 12\sqrt{6}\\ &= \frac{1}{3}|\overrightarrow{OA}|^2+8\sqrt{6}. \end{aligned}

$$

これが $3+8\sqrt{6}$ に等しいので、

$$ \frac{1}{3}|\overrightarrow{OA}|^2+8\sqrt{6}=3+8\sqrt{6}

$$

より、

$$ |\overrightarrow{OA}|^2=9

$$

したがって、

$$ OA=3

$$

である。これが (2) の答えである。

次に (3) を求める。

まず、

$$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB} &= \overrightarrow{OA}\cdot (\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})\\ &= \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} &=

|\overrightarrow{OA}|^2\\ &= 4\sqrt{6}-9. \end{aligned}

$$

したがって、

$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB}=4\sqrt{6}-9

$$

である。

一方、台形で $AD\parallel BC$ かつ $AD=2BC$ だから、

$$ \overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}

$$

である。よって、

$$ \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}

$$

より、

$$ \overrightarrow{AD} = 2(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})

$$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AD} &= \overrightarrow{OA}\cdot 2(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})\\ &= 2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC} &=

2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}\\ &= 2\cdot 12\sqrt{6} &=

2\cdot 4\sqrt{6}\\ &= 16\sqrt{6}. \end{aligned}

$$

したがって、

$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AD}=16\sqrt{6}

$$

である。

最後に (4) を求める。

$\overrightarrow{AD}$ を $x$ 軸方向にとり、

$$ \overrightarrow{AD}=(2r,0)

$$

とおく。等脚台形で $AB=BC=CD=r,\ AD=2r$ であるから、底辺の差は $r$ であり、左右に $\frac{r}{2}$ ずつずれる。

したがって、

$$ \overrightarrow{AB} = \left( \frac{r}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}r \right)

$$

とおける。

また、

$$ \overrightarrow{OA}=(x,y)

$$

とおく。

まず、

$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AD}=16\sqrt{6}

$$

より、

$$ (x,y)\cdot(2r,0)=16\sqrt{6}

$$

だから、

$$ 2rx=16\sqrt{6}

$$

すなわち、

$$ x=\frac{8\sqrt{6}}{r}

$$

である。

また、

$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB}=4\sqrt{6}-9

$$

より、

$$ (x,y)\cdot \left( \frac{r}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}r \right) = 4\sqrt{6}-9

$$

である。ここに $x=\frac{8\sqrt{6}}{r}$ を代入すると、

$$ \frac{r}{2}\cdot \frac{8\sqrt{6}}{r} + \frac{\sqrt{3}}{2}ry = 4\sqrt{6}-9

$$

すなわち、

$$ 4\sqrt{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}ry = 4\sqrt{6}-9

$$

である。よって、

$$ \frac{\sqrt{3}}{2}ry=-9

$$

より、

$$ y=-\frac{18}{\sqrt{3}r} = -\frac{6\sqrt{3}}{r}

$$

である。

ここで (2) より $OA=3$ だから、

$$ x^2+y^2=9

$$

である。したがって、

$$ \left(\frac{8\sqrt{6}}{r}\right)^2 + \left(-\frac{6\sqrt{3}}{r}\right)^2 = 9

$$

となる。これを整理すると、

$$ \frac{384}{r^2}+\frac{108}{r^2}=9

$$

より、

$$ \frac{492}{r^2}=9

$$

したがって、

$$ r^2=\frac{164}{3}

$$

である。よって、

$$ r=\frac{2\sqrt{123}}{3}

$$

である。

次に、$\theta$ は $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{AD}$ のなす角であるから、

$$ \cos\theta = \frac{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AD}} {|\overrightarrow{OA}|,|\overrightarrow{AD}|}

$$

である。ここで、

$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AD}=16\sqrt{6}, \qquad |\overrightarrow{OA}|=3, \qquad |\overrightarrow{AD}|=2r

$$

より、

$$ \begin{aligned} \cos\theta &= \frac{16\sqrt{6}}{3\cdot 2r}\\ &= \frac{8\sqrt{6}}{3r} \end{aligned} $$

である。$r=\frac{2\sqrt{123}}{3}$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} \cos\theta &= \frac{8\sqrt{6}}{2\sqrt{123}}\\ &= \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{123}}\\ &= \frac{4\sqrt{82}}{41} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の中心は、台形の対角線の交点が対角線を底辺の比に分けることを使う点である。$AD:BC=2:1$ なので、$E$ は $AC$ を $2:1$ に内分する。

また、$BC=\frac{1}{2}AD$ をベクトルで使うと、

$$ \overrightarrow{AD}=2(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})

$$

が得られ、与えられた内積条件だけで $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AD}$ を計算できる。

最後の $r$ の計算では、等脚台形の形が重要である。$AD=2r,\ BC=r,\ AB=CD=r$ なので、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AD}$ のなす角は $60^\circ$ であり、座標化すると

$$ \overrightarrow{AD}=(2r,0), \qquad \overrightarrow{AB}= \left( \frac{r}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}r \right)

$$

とおける。この形に落とし込むことで、内積条件から $r$ が決まる。

答え

**(1)**

$$ \overrightarrow{OE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OC}

$$

**(2)**

$$ OA=3

$$

**(3)**

$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AD}=16\sqrt{6}, \qquad \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB}=4\sqrt{6}-9

$$

**(4)**

$$ r=\frac{2\sqrt{123}}{3}, \qquad \cos\theta=\frac{4\sqrt{82}}{41}

$$