解説

方針・初手

垂直二等分線上の点は、線分の両端から等距離にある。したがって、$P$ が辺 $AB$ の垂直二等分線上にあることから $PA=PB$、辺 $AC$ の垂直二等分線上にあることから $PA=PC$ が成り立つ。

これをベクトルの長さの等式に直し、内積 $\vec{b}\cdot\vec{p}$、$\vec{c}\cdot\vec{p}$ を求める。

解法1

$\vec{AB}=\vec{b}$、$\vec{AC}=\vec{c}$、$\vec{AP}=\vec{p}$ であるから、

$$ \vec{BP}=\vec{p}-\vec{b},\qquad \vec{CP}=\vec{p}-\vec{c}

$$

である。

まず、$P$ は辺 $AB$ の垂直二等分線上にあるので、$PA=PB$ である。よって、

$$ |\vec{p}|=|\vec{p}-\vec{b}|

$$

であり、両辺を2乗して

$$ |\vec{p}|^2=|\vec{p}-\vec{b}|^2

$$

となる。右辺を展開すると、

$$ |\vec{p}-\vec{b}|^2 =|\vec{p}|^2-2\vec{b}\cdot\vec{p}+|\vec{b}|^2

$$

であるから、

$$ |\vec{p}|^2=|\vec{p}|^2-2\vec{b}\cdot\vec{p}+|\vec{b}|^2

$$

となる。したがって、

$$ 2\vec{b}\cdot\vec{p}=|\vec{b}|^2

$$

である。$|\vec{b}|=2$ より、

$$ \vec{b}\cdot\vec{p}=\frac{|\vec{b}|^2}{2}=\frac{4}{2}=2

$$

である。

同様に、$P$ は辺 $AC$ の垂直二等分線上にあるので、$PA=PC$ である。よって、

$$ |\vec{p}|=|\vec{p}-\vec{c}|

$$

より、

$$ |\vec{p}|^2=|\vec{p}-\vec{c}|^2

$$

である。これを展開すると、

$$ |\vec{p}|^2=|\vec{p}|^2-2\vec{c}\cdot\vec{p}+|\vec{c}|^2

$$

となるから、

$$ 2\vec{c}\cdot\vec{p}=|\vec{c}|^2

$$

である。$|\vec{c}|=5$ より、

$$ \vec{c}\cdot\vec{p}=\frac{|\vec{c}|^2}{2}=\frac{25}{2}

$$

である。

次に、

$$ \vec{p}=s\vec{b}+t\vec{c}

$$

とおく。両辺に $\vec{b}$ との内積をとると、

$$ \vec{b}\cdot\vec{p} =s|\vec{b}|^2+t\vec{b}\cdot\vec{c}

$$

である。$|\vec{b}|^2=4$、$\vec{b}\cdot\vec{c}=8$、$\vec{b}\cdot\vec{p}=2$ より、

$$ 4s+8t=2

$$

を得る。

また、両辺に $\vec{c}$ との内積をとると、

$$ \vec{c}\cdot\vec{p} =s\vec{b}\cdot\vec{c}+t|\vec{c}|^2

$$

である。$\vec{b}\cdot\vec{c}=8$、$|\vec{c}|^2=25$、$\vec{c}\cdot\vec{p}=\dfrac{25}{2}$ より、

$$ 8s+25t=\frac{25}{2}

$$

を得る。

したがって、$s,t$ は連立方程式

$$ \begin{cases} 4s+8t=2,\\ 8s+25t=\dfrac{25}{2} \end{cases}

$$

を満たす。

第1式を $4$ で割ると、

$$ s+2t=\frac{1}{2}

$$

より、

$$ s=\frac{1}{2}-2t

$$

である。これを第2式に代入すると、

$$ 8\left(\frac{1}{2}-2t\right)+25t=\frac{25}{2}

$$

であるから、

$$ 4-16t+25t=\frac{25}{2}

$$

となる。よって、

$$ 9t=\frac{25}{2}-4=\frac{17}{2}

$$

であり、

$$ t=\frac{17}{18}

$$

である。したがって、

$$ s=\frac{1}{2}-2\cdot\frac{17}{18} =\frac{9}{18}-\frac{34}{18} =-\frac{25}{18}

$$

である。

解説

垂直二等分線の条件は「垂直」そのものを使うよりも、「両端から等距離」という性質を使う方が内積に直しやすい。

特に、

$$ |\vec{p}|^2=|\vec{p}-\vec{b}|^2

$$

から

$$ \vec{b}\cdot\vec{p}=\frac{|\vec{b}|^2}{2}

$$

が出る流れは典型である。同じ処理を $\vec{c}$ に対して行えば、$\vec{c}\cdot\vec{p}$ も求まる。

その後は、$\vec{p}=s\vec{b}+t\vec{c}$ とおいて、$\vec{b}$、$\vec{c}$ との内積をそれぞれ取れば、$s,t$ に関する連立一次方程式に帰着する。

答え

$$ \vec{b}\cdot\vec{p}=2

$$

$$ \vec{c}\cdot\vec{p}=\frac{25}{2}

$$

$$ s=-\frac{25}{18},\qquad t=\frac{17}{18}

$$

したがって、

$$ (\text{オ})=2,\qquad (\text{カ})=\frac{25}{2},\qquad (\text{キ})=-\frac{25}{18},\qquad (\text{ク})=\frac{17}{18}

$$